Simplification d'une fonction avec arctans


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:
  • DérivéeEtude de fonctions (dérivée, continuité, variations, limites, ...)

Énoncé du sujet

Étudier la fonction $f$ définie sur $\R^*$ par $f(x)=\arctan x+\arctan\dfrac1x$.


Correction

Correction

On a $arctan'x=\dfrac{1}{1+x^2}$ et, avec $u=\dfrac1x$, $u'=-\dfrac{1}{x^2}$, $\lp\arctan u\rp'=u'\dfrac{1}{1+u^2}$, et donc
\[\begin{array}{ll}
f'(x)
&=\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{x^2}\tm\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x^2}}\\
&=\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{x^2+1}=0
\enar\]

Ainsi $f$ est constante, et, comme $f(1)=2\arctan(1)=\dfrac\pi2$, on a, pour tout $x\not=0$,
\[f(x)=\arctan x+\arctan\dfrac1x=\dfrac\pi2\]



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