Rayon de convergence
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Séries entièresSéries entières
Énoncé du sujet
Déterminer le rayon de convergence de la série entière
![$\dsp\sum_n\frac{(1+i)^n z^{3n}}{n\cdot 2^n}$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC8/1.png)
Correction
, alors
![\[\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\frac{ n |1+i| |z|^3 }{2(n+1)}\to \frac{\sqrt{2} |z|^3}{2}=\frac{|z|^3}{\sqrt2}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC8_c/2.png)
Ainsi, si
, la série de terme général
est convergente
d'après le critère de d'Alembert, alors qu'elle est divergente si
.
On en déduit que le rayon de convergence de la série entière est
.
Correction
Soit![$u_n=\frac{(1+i)^n z^{3n}}{n.2^n}$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC8_c/1.png)
![\[\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\frac{ n |1+i| |z|^3 }{2(n+1)}\to \frac{\sqrt{2} |z|^3}{2}=\frac{|z|^3}{\sqrt2}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC8_c/2.png)
Ainsi, si
![$|z|^3<\sqrt{2}$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC8_c/3.png)
![$|u_n|$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC8_c/4.png)
![$|z|^3>\sqrt{2}$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC8_c/5.png)
On en déduit que le rayon de convergence de la série entière est
![$2^{1/6}=\sqrt[6]{2}$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC8_c/6.png)
Tag:Séries entières
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