Racines d'un trinome aléatoire

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Variables aléatoires continuesVariables aléatoires continues

Énoncé du sujet

On considère l'équation

où le coefficient

est une variable aléatoire qui suit la loi normale $\mathcal{N}(3,2^2)$ .
Calculer la probabilité que cette équation admette deux racines réelles ?
On donne les valeurs de la fonction de répartition $\Phi$ de la loi normale centrée réduite: $\Phi(0,5)=0,6915$ , $\Phi(1)=0,8413$ , $\Phi(1,5)=0,9332$ , $\Phi(2)=0,9772$ , et $\Phi(2,5)=0,9938$ .

Correction

Le trinôme admet deux racines réelles lorsque son discriminant est positif, soit

$\Delta=A^2-4\geqslant0$

avec la probabilité

$\begin{array}{ll}P(\Delta\geqslant0)\\ &=P(A^2\geqslant4)\\ &=1-P(A^2\leqslant4)\\ &=1-P(-2\leqslant A\leqslant2)\enar$

On se ramène alors à une loi normale centrée réduite en posant

$Y=\dfrac{A-\mu}\sigma=\dfrac{A-3}2$

et on a alors

$\begin{array}{ll}P(\Delta\geqslant0)=1-P(-2,5\leqslant X\leqslant-0,5)\\ &=1-\lp\Phi(-0,5)-\Phi(-2,5)\rp\\ &=1-(1-\Phi(0,5))+(1-\Phi(2,5))\\ &=1-\Phi(2,5)+\Phi(0,5)\enar$

et donc, avec les données numériques fournies,

$\begin{array}{ll}P(\Delta\geqslant0)&=1-0,9938+0,6915\\&=0,6977\enar$

Tag:Variables aléatoires continues

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