Racine cubique d'une matrice
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- DiagonalisationDiagonalisation de matrice et réduction des endomorphismes
- MatricesMatrices
Énoncé du sujet
Soit
.
Montrer que
est diagonalisable et calculer ses valeurs propres.
En déduire qu'il existe une matrice
telle que
.
![$A=\lp\begin{array}{cc}-5&3\\6&-2\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice/1.png)
![$A$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice/2.png)
En déduire qu'il existe une matrice
![$B$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice/3.png)
![$B^3=A$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice/4.png)
Correction
Avec le polynôme caractéristique:
1 et racine évidente, et on on a alors la factorisation
![\[P_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+8)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/2.png)
qui montre que le polynôme cacactéristique admet deux valeurs propres distinctes et donc, en particulier, que
est diagonalisable.
Il existe donc une matrice de passage inversible
telle que
, avec
![\[D=\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&-8\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/6.png)
On trouve facilement une racine cubique de cette dernière:
![\[B=\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&-2\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/7.png)
est bien telle que
.
Maintenant, la matrice
définie par
![\[M=PBP^{-1}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/10.png)
vérifie
![\[M^3=PB^3P^{-1}=PDP^{-1}=A\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/11.png)
Avec un calcul de rang:
est une valeur propre lorsque
, soit
![\[r=\lp\lambda I-A\right)
=\lp\begin{array}{cc}\lambda+5&-3\\-6&\lambda+2\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/14.png)
soit, avec l'opération
,
![\[r=\lp\begin{array}{cc}\lambda+5&-3\\-18+(\lambda+2)(\lambda+5)&0\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/16.png)
On cherche donc les racines du trinôme du second degré
qui sont 1 (évidente) et -8.
Ainsi, il y a deux valeurs propres distinctes et donc, en particulier,
est diagonalisable.
Il existe donc une matrice de passage inversible
telle que
, avec
![\[D=\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&-8\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/21.png)
On trouve facilement une racine cubique de cette dernière:
![\[B=\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&-2\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/22.png)
est telle que
.
On a alors que la matrice
définie par
![\[M=PBP^{-1}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/25.png)
vérifie
![\[M^3=PB^3P^{-1}=PDP^{-1}=A\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/26.png)
Correction
On commence par rechercher les valeurs propres pour diagonaliser cette matrice.Avec le polynôme caractéristique:
![$P_A(\lambda)=\det\left( \lambda I-A\right)
=\left|\begin{array}{cc}\lambda+5&-3\\-6&\lambda+2\enar\right|
=(\lambda+5)(\lambda+2)-18$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/1.png)
1 et racine évidente, et on on a alors la factorisation
![\[P_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+8)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/2.png)
qui montre que le polynôme cacactéristique admet deux valeurs propres distinctes et donc, en particulier, que
![$A$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/3.png)
Il existe donc une matrice de passage inversible
![$P$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/4.png)
![$A=PDP^{-1}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/5.png)
![\[D=\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&-8\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/6.png)
On trouve facilement une racine cubique de cette dernière:
![\[B=\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&-2\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/7.png)
est bien telle que
![$B^3=D$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/8.png)
Maintenant, la matrice
![$M$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/9.png)
![\[M=PBP^{-1}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/10.png)
vérifie
![\[M^3=PB^3P^{-1}=PDP^{-1}=A\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/11.png)
Avec un calcul de rang:
![$\lambda$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/12.png)
![$r=\text{rg}\lp\lambda I-A\rp<2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/13.png)
![\[r=\lp\lambda I-A\right)
=\lp\begin{array}{cc}\lambda+5&-3\\-6&\lambda+2\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/14.png)
soit, avec l'opération
![$L_2\leftarrow3L_2+(\lambda+2)L_1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/15.png)
![\[r=\lp\begin{array}{cc}\lambda+5&-3\\-18+(\lambda+2)(\lambda+5)&0\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/16.png)
On cherche donc les racines du trinôme du second degré
![$P(\lambda)=(\lambda+5)(\lambda+2)-18$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/17.png)
Ainsi, il y a deux valeurs propres distinctes et donc, en particulier,
![$A$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/18.png)
Il existe donc une matrice de passage inversible
![$P$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/19.png)
![$A=PDP^{-1}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/20.png)
![\[D=\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&-8\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/21.png)
On trouve facilement une racine cubique de cette dernière:
![\[B=\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&-2\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/22.png)
est telle que
![$B^3=D$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/23.png)
On a alors que la matrice
![$M$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/24.png)
![\[M=PBP^{-1}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/25.png)
vérifie
![\[M^3=PB^3P^{-1}=PDP^{-1}=A\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/Racine-cubique-matrice_c/26.png)
Tags:DiagonalisationMatrices
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