Produit scalaire avec des polynômes, matrice de Gram, et base orthonormale


Colle de mathématiques

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Énoncé du sujet

Pour $P$ et $Q$ deux polynômes de $E=\R_2[X]$, on pose
\[\left( P,Q\right) = P(0)Q(0)+P(1)Q(1)+P(2)Q(2)\]

  1. Vérifier qu'on définit ainsi un produit scalaire sur $E$.
  2. Pour des polynômes $P_1$, $P_2$, … $P_n$, on appelle matrice de Gram la matrice dont les coefficients sont $\left( P_i,P_j\rp$.
    Donner la matrice de Gram associée à la base canonique de $E$.
  3. On pose $R_1(X)=X(X-1)$, $R_2(X)=X(X-2)$.
    Montrer que $R_1$ et $R_2$ sont orthgonaux.
    Donner alors une base orthonormale de $E$.



Correction

Correction

  1. L'application est clairement bilinéaire, symétrique et positive car
    \[\|P\|^2=\left( P,P\rp=\left( P(0)\rp^2+\left( P(1)\rp^2+\left( P(2)\rp^2\geqslant0\]

    Elle est de plus définie car, $\left( P,P\rp=0 \iff P(0)=P(1)=P(2)=0$, et donc, en d'autres termes, $P$ admet trois racines distinctes, ce qui est impossible pour un polynôme de degré inférieur ou égal à 2, ormis pour le polynôme nul, soit $P=0$.
  2. On calcule $G=\lp\begin{array}{ccc} 3 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 9 \\ 5 & 9 & 17\enar\rp$.
  3. $\left( R_1,R_2\rp=R_1(0)R_2(0)+R_1(1)R_2(1)+R_1(2)R_2(2)=0$, et donc $R_1$ et $R_2$ sont bien orthogonaux.
    On complète avec un troisième polynôme, $R_3=(X-1)(X-2)$, orthogonal aux deux précédents.
    On normalise enfin ces trois polynômes: $\|R_1\|^2=\left( R_1,R_1\rp=4$, $\|R_2\|^2=\left( R_2,R_2\rp=1$ et $\|R_3\|^2=\left( R_3,R_3\rp=4$.
    La famille $\left( T_1,T_2,T_3\rp$, avec $T_1=\dfrac12R_2=\dfrac12X(X-1)$, $T_2=R_2=X(X-2)$ et $T_3=\dfrac12R_3=\dfrac12(X-1)(X-2)$ est donc une base orthonormale.


Tags:Espaces euclidiensPolynômeMatrices

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