Probabilité de naissances
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Couples de variables aléatoiresCouples de variables aléatoires
Énoncé du sujet
On suppose que le nombre
d'enfants dans une famille suit une loi de Poisson de paramètre
.
On suppose qu'à chaque naissance, la probabilité que l'enfant soit une fille
est
et celle que ce soit un garçon est
.
On suppose aussi que les sexes des naissances successives sont indépendants.
On note
la variable aléatoire correspondant au nombre de filles par
familles, et
celle du nombre de garçons.
![$N$](/Generateur-Devoirs/Colles/CVA/Loi-naissance-filles-garcons/1.png)
![$\lambda\geqslant0$](/Generateur-Devoirs/Colles/CVA/Loi-naissance-filles-garcons/2.png)
![$p\in ]0,1[$](/Generateur-Devoirs/Colles/CVA/Loi-naissance-filles-garcons/3.png)
![$q=1-p$](/Generateur-Devoirs/Colles/CVA/Loi-naissance-filles-garcons/4.png)
![$X$](/Generateur-Devoirs/Colles/CVA/Loi-naissance-filles-garcons/5.png)
![$Y$](/Generateur-Devoirs/Colles/CVA/Loi-naissance-filles-garcons/6.png)
- Déterminer la loi conjointe du couple
.
- En déduire la loi de
et celle de
.
Correction
Correction
- Pour
naissances, les lois de
et
sont des lois binomiales de paramètres
et respectivement
et
.
En d'autres termes, on a la probabilité conditionnelle
On en déduit que
- On déduit la loi marginale de
à partir de la loi du couple :
Ainsi,suit une loi de Poisson de paramètre
. De même,
suit une loi de Poisson de paramètre
.
Tag:Couples de variables aléatoires
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