Pannes multiples sur une machine - loi exponentielle


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Le fonctionnement d'une machine est perturbé par des pannes. On considère les variables aléatoires $X_1,X_2$ et $X_3$ définies par: $X_1$ est le temps, exprimé en heures, écoulé entre la mise en route de la machine et la première panne. $X_2$ (resp. $X_3$), est le temps, en heures, écoulé entre la remise en route de la machine après la première (resp. la deuxième) panne et la panne suivante. On suppose que les variables aléatoires $X_1,X_2$ et $X_3$ sont indépendantes et suivent la même loi exponentielle de paramètre 1/2.
  1. Quelle est la durée moyenne de fonctionnement entre deux pannes consécutives?
  2. Soit $E$ l'événement: "chacune des 3 périodes de fonctionnement de la machine dure plus de 2 heures". Calculer $P(E)$.
  3. Soit $Y$ la variable aléatoire égale à la plus grande des 3 durées de fonctionnement de la machine sans interruption.
    1. Calculer $P(Y\leq t)$ pour tout $t\in\mathbb R$.
    2. Déterminer une densité de $Y$.
    3. Pour $a<0$, calculer $\dsp\int_0^{+\infty}te^{at}dt.$
    4. Démontrer que la variable aléatoire $Y$ admet une espérance, dont on calculera, en heures et minutes, la valeur.



Correction

Correction

  1. La durée moyenne de fonctionnement entre deux pannes consécutives est l'espérance (commune) des variables aléatoires $X_1$, $X_2$ et $X_3$, c'est-à-dire $1/(1/2)=2$.
  2. L'événement $E$ s'écrit : $E=(X_1\geq 2)\cap (X_2\geq 2)\cap (X_3\geq 2)$. Les variables aléatoires $X_1$, $X_2$ et $X_3$ étant indépendantes, on a $P(E)=P(X_1\geq 2)\times P(X_2\geq 2)\times P(X_3\geq 2)$. Or,
    $$P(X_i\geq 2)=\int_2^{+\infty}\frac12e^{-t/2}dt=e^{-1}.$$

    On en conclut que $P(E)=e^{-3}$.
    1. On a $Y=\max(X_1,X_2,X_3)$ et donc $(Y\leq t)=(X_1\leq t)\cap (X_2\leq t)\cap (X_3\leq t)$.
      Par indépendance des 3 variables aléatoires, on en déduit que
      \[P(Y\leq t)=P(X_1\leq t)P(X_2\leq t)P(X_3\leq t)\]

      Ainsi, si $t\leqslant0$, $P(Y\leqslant t)=0$. Si $t>0$, alors
      \[P(Y\leqslant t)=\left(1-e^{-t/2}\right)^3\]

    2. La quantité calculée à la question précédente est la fonction de répartition $F_Y$ de $Y$.
      Elle est est continue sur $\R$ et $C^1$ sur $\R^*$. On en déduit que $Y$ admet une densité $f_Y$ définie sur $\R^*$ par $f_Y(t)=F_Y'(t)$, soit
      \[f_Y(t)=\left\{ \begin{array}{ll}0&\text{ si }t<0\\ \dfrac32e^{-t/2}\left(1-e^{-t/2}\right)^2&\text{ si }t\geqslant0. \enar\right.\]

    3. À l'aide d'une intégration par parties, on trouve que
      \[\begin{array}{lcl} \dsp\int_0^x te^{at}dt&=&\lb\dfrac{te^{at}}a\rb_0^x-\dsp\int_0^x \dfrac{e^{at}}adt\\[1.2em] &=&\dfrac{x}a e^{ax}-\dfrac1a\lb\dfrac{e^{ax}}{a}\rb_0^x\\[1.2em] &=&\dfrac{x}a e^{ax}-\dfrac{e^{ax}}{a^2}+\dfrac{1}{a^2}. \enar\]

      En faisant tendre $x$ vers $+\infty$, on trouve finalement que
      \[\int_0^{+\infty}t e^{-at}dt=\dfrac{1}{a^2}\]

    4. Pour tout $x\geqslant0$,
      \[\begin{array}{r} \dsp\int_0^x tf_Y(t)dt=\dsp\int_0^x \dfrac32te^{-t/2}(1-e^{-t/2})^2dt\\[1.2em] =\dfrac32\dsp\int_0^x \big(te^{-t/2}-2te^{-t}+te^{-3t/2}\big)dt \enar\]

      et, lorsque $x$ tend vers $+\infty$ et d'après la question précédente, on obtient que l'intégrale $\dsp\int_0^{+\infty}tf_Y(t)dt$ converge, et vaut
      \[E(Y)=\dfrac{3}2\lp\dfrac1{(-1/2)^2}-\dfrac2{(-1)^2}+\dfrac1{(-3/2)^2}\rp=\dfrac{11}{3}\]

      La durée maximale moyenne de fonctionnement entre deux pannes est 3h40min.


Tag:Variables aléatoires continues

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