Nombre de racines d'un polynôme (suivant la parité de son degré)
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Rolle - AFThéorème de Rolle et théorème des accroissements finis
- PolynômePolynômes
Énoncé du sujet
Soit, pour un entier ,
le polynôme .
Montrer que si est pair admet au plus quatre racines réelles distinctes, tandis que si est impaire admet au plus trois racines réelles distinctes.
Montrer que si est pair admet au plus quatre racines réelles distinctes, tandis que si est impaire admet au plus trois racines réelles distinctes.
Correction
Correction
On a- Si est pair, l'équation admet deux racines réelles,
et , et donc admet exactement trois racines réelles:
, et .
Si admettait plus de quatre récines réelles distinctes, donc au moins cinq: , alors d'après le théorème de Rolle appliqué quatre fois sur chaque intervalle , aurait quatre racines distinctes.
Or nous venons de voir que n'avait que trois racines; c'est donc impossible, et a au plus quatre racines réelles distinctes. - On procède de même si est impair.
Cette fois par contre l'équation n'admet qu'une seul solution, , et n'a donc que deux racines réelles et , et pas plus de trois racines réelles distinctes.
Tags:Rolle - AFPolynôme
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