Nature de l'intégrale …
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- IntégraleIntégrale
Énoncé du sujet
Étudier la nature de l'intégrale
![$\dsp\int_0^{+\infty}\dfrac{\ln x}{1+x^2}\,dx$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN7/1.png)
Correction
est continue sur
et il suffit donc d'étudier la convergence de l'intégrale en
et en
.
En
,
qui est intégrable (soit à l'aide
qui est une primitive de
,
soit car
et donc
qui est le terme d'une intégrale de Riemann convergente en 0).
En
, par croissances comparées,
ce qui signifie que
qui est le terme d'une intégrale de Riemann convergente.
L'intégrale est donc convergente.
Correction
![$x\mapsto\dfrac{\ln x}{1+x^2}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN7_c/1.png)
![$]0;+\infty[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN7_c/2.png)
![$0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN7_c/3.png)
![$+\infty$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN7_c/4.png)
En
![$0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN7_c/5.png)
![$\dfrac{\ln x}{1+x^2}\sim\ln x$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN7_c/6.png)
![$x\mapsto x\ln x-x$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN7_c/7.png)
![$x\mapsto\ln x$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN7_c/8.png)
![$\sqrt{x}\ln x=\dfrac{\ln x}{\frac1{\sqrt{x}}}\to0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN7_c/9.png)
![$\ln x=o\lp\dfrac1{\sqrt{x}}\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN7_c/10.png)
En
![$+\infty$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN7_c/11.png)
![$\dfrac{\frac{\ln x}{1+x^2}}{\frac1{x^{1,1}}}=x^{1,1}\dfrac{\ln x}{1+x^2}\sim\dfrac{\ln x}{x^{0,9}}\to0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN7_c/12.png)
![$\dfrac{\ln x}{1+x^2}=o\lp\dfrac1{x^{1,1}}\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN7_c/13.png)
L'intégrale est donc convergente.
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