Matrices orthogonales, antisymétriques et valeurs propres


oral HEC, BL - 2022 - Sujet avec préparation
Soit $n\geqslant2$ un entier. Si $M\in\mathcal{M}_n(\R)$ est une matrice, on note $M^T$ sa transposée.
On dit qu'une matrice $M\in\mathcal{M}_n(\R)$ est orthogonale si $MM^T = I_n$.
On dit qu'une matrice $M\in\mathcal{M}_n(\R)$ est symétrique si $M^T = M$.
On dit qu'une matrice $M\in\mathcal{M}_n(\R)$ est antisymétrique si $M^T = -M$.
On confond dans la suite $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ avec $\R^n$ que l'on munit de son produit scalaire canonique noté $\langle\,.\, ,\,. \rangle$ et de la norme associée notée $||\,.\,||$.
  1. Question de cours : rappeler la définition d'une matrice inversible.
    1. Montrer que toute matrice orthogonale est inversible.
    2. Soit $V=\lp\begin{array}{cccc}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\enar\rp$. Préciser pour quelle(s) valeur(s) de $k\in\N$, la matrice $V^k$ est orthogonale.

  2. Soit $A$ une matrice antisymétrique de $\mathcal{M}_n(\R)$. Soit $M=I_n+A$ et $N=I_n-A$.
    1. Soit $X\in\mathcal{M}_{n,1}(\R)$. Calculer $(X^TAX)^T$ et en déduire la valeur de $X^TAX$.
    2. Montrer que la seule valeur propre possible pour $A$ est 0. Dans quel cas la matrice $A$ est-elle diagonalisable ?
    3. Montrer que les matrices $M$ et $N$ sont inversibles.
    4. Montrer que les matrices $M$ et $N^{-1}$ commutent.
    5. Montrer que la matrice $\Omega = M N^{-1}$ est orthogonale.
    6. $-1$ est-il valeur propre de $\Omega$ ?

  3. Soit $U$ une matrice orthogonale de $\mathcal{M}_n(\R)$ n'admettant pas $-1$ comme valeur propre. Montrer qu'il existe une unique matrice antisymétrique $B\in\mathcal{M}_n(\R)$ telle que
    \[U=(I_n+B)(I_n-B)^{-1}\]


Correction
oral HEC, BL - 2022
  1. Une matrice $A$ carrée d'ordre $n$ est inversible si et seulement il existe une matrice $B$ telle que $AB=BA=I_n$.
    Dans ce cas, cette matrice $B$ est l'inverse de $A$, notée $B=A^{-1}$.
    On sait de plus, qu'il suffit d'avoir $AB=I_n$ pour en déduire qu'aussi $BA=I_n$.
    1. D'après le rappel précédent, une matrice $M$ orthogonale vérifie bien le critère précédent, avec comme matrice inverse $M^{-1}=M^T$.
    2. On a $V^0=I_4$ qui est bien orthogonale, puique $I_4^T=I_4$ et donc $I_4I_4^T=I_4I_4=I_4$.

      On calcule ensuite que $VV^T=I_4$ et donc que $V^1=V$ est orthogonale.
      On en déduit que $V^k$ est orthogonale pour tout entier $k$, puisque en regroupant successivement les termes centraux on a grâce au calcul précédent
      \[\begin{array}{ll}V^k\left( V^k\rp^T&= VV\dots V V^T\dots V^T\\
    &= VV\dots V(VV^T)V^T\dots V^T\\
    &= VV\dots V(I_4)V^T\dots V^T\\
    &=\dots\\
    &= V(I_4)V^T\\
    &=I_4
    \enar\]


    1. Comme $A$ est antisymétrique, on a
      \[(X^TAX)^T=X^TA^T(X^T)^T=-X^TAX\]

      et d'autre part, puisque, en regardant les dimensions de ce produit $X^TAX\in\mathcal{M}_1(\R)$, c'est-à-dire que $X^TAX$ est un réel (une matrice à une seule ligne et une seule colonne), on a donc que
      \[(X^TAX)^T=X^TAX\]

      On déduit de ces deux expressions que $X^TAX=0$.
    2. Soit $\lambda\in\C$ une éventuelle valeur propre de $A$, et soit alors $X$ un vecteur propre associé, en d'autres termes $AX=\lambda X$ et on a alors, d'après la question précédente,
      \[0=X^TAX=X^T(\lambda X) = \lambda X^TX=\lambda \|X\|^2\]

      Si $\lambda$ est valeur propre, c'est qu'il existe un tel vecteur propre non nul, et donc que, nécessairement $\lambda=0$.
      La seule valeur propre possible pour une matrice $A$ antisymétrique est donc bien 0.
      Une telle matrice n'est donc pas diagonalisable, car si elle l'était, avec 0 pour seule valeur propre, elle serait semblable à la matrice nulle $D=0$:
      \[A=PDP^1=0\]

      La seule matrice antisymétrique diagonalisable est donc la matrice nulle.
    3. On peut s'intéresser au noyau de $N$:
      \[NX=0\iff (I_n-A)X=0\iff AX=X\]

      Or 1 n'est pas valeur propre de $A$ (la seule possible est 0), donc nécessairement $X=0$ ce qui montre que $N$ est inversible (l'endomorphisme associé est injectif, donc bijectif).
      De même pour $M$, car, comme précédemment, $-1$ n'est pas valeur propre non plus de $A$.
    4. Comme $M$ et $N$ commutent (car $I_n$ et $A$ commutent), on a alors
      \[\begin{array}{ll}
    MN^{-1}&=(N^{-1}N)MN^{-1}\\
    &=N^{-1}(NM)N^{-1}\\
    &=N^{-1}(MN)N^{-1}\\
    &=N^{-1}M(NN^{-1})\\
    &=N^{-1}M
    \enar\]


    5. On a tout d'abord, puisqu'on va s'intéresser aux transposées, et comme $A$ est antisymétrique
      \[M^T=(I_n+A)^T=I_n+A^T=I_n-A=N\]

      et
      \[N^T=(I_n-A)^T=I_n-A^T=I_n+A=M\]

      et alors, en revenant à la matrice $\Omega$,
      \[\begin{array}{ll}\Omega^T\Omega&=(MN^{-1})^T(MN^{-1})\\
    &= (N^{-1})^TM^TMN^{-1}\\
    &= M^{-1}NMN^{-1}
    \enar\]

      et comme $M$ et $N$ commutent,
      \[\Omega^T\Omega=I_n\]

      c'est-à-dire que $\Omega$ est une matrice orthogonale.
    6. Soit $X$ tel que $\Omega X=-X \iff MN^{-1}X=-X$ puis, comme $M$ et $N^{-1}$ commutent, on a alors
      \[\begin{array}{ll}N^{-1}MX=-X
    &\iff MX=-NX\\
    &\iff (I_n+A)X=-(I_n-A)X\\
    &\iff 2X=0\\
    &\iff X=0\enar\]

      $-1$ ne peut donc pas être valeur propre de $\Omega$.

  2. Suppsosns qu'une telle matrice $B$ existe telle que
    \[\begin{array}{ll}U=(I_n+B)(I_n-B)^{-1}\\
  &\iff U(I_n-B)=(I_n+B)\\
  &\iff U-UB=I_n+B\\
  &\iff (I_n+U)B=U-I_n\enar\]

    et comme on l'a montré précédemment, $I_n+U$ est inversible car $-1$ n'est pas valeur propre de $U$, d'où on trouve l'expression nécessaire de cette unique matrice $B$, si elle existe.
    \[B=(U+I_n)^{-1}(U-I_n)\]


    Réciproquement, si on définit la matrice $B$ par l'expression précédente, on montre que $B^T=-B$ c'est-à-dire que $B$ est antisymétrique et telle que, en reprenant le calcul précédant dans l'autre sens,
    \[U=(I_n+B)(I_n-B)^{-1}\]

    c'est-à-dire que la matrice $B$ ainsi définie est bien l'unique matrice répondant à la question.


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