Matrice inversible ? diagonalisable ?
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- DiagonalisationDiagonalisation de matrice et réduction des endomorphismes
- MatricesMatrices
Énoncé du sujet
La matrice
est-elle inversible ? diagonalisable ?
![$A=\lp\begin{array}{ccc} 1&0&1\\0&2&1\\0&1&0\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex01/1.png)
Correction
donc
est inversible.
Le polynôme caractéristique de
est:
![\[\begin{array}{ll}
\chi_A(X)=\det\left( A-XI_3\right)
&=\left|\begin{array}{ccc} 1-X&0&1\\0&2-X&1\\0&1&-X\enar\right| \\
&=(1-X)\Bigl(-X(2-X)-1\Bigr)\\[.5em]
&=(1-X)\left( X^2-2X-1\right)
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex01_c/4.png)
or le trinôme du second degré
admet pour discriminant
et donc admet deux racines rélles distinctes.
est donc diagonalisable.
Correction
![$\det A=\left|\begin{array}{ccc} 1&0&1\\0&2&1\\0&1&0\enar\right|
=-1\not=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex01_c/1.png)
![$A$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex01_c/2.png)
Le polynôme caractéristique de
![$A$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex01_c/3.png)
![\[\begin{array}{ll}
\chi_A(X)=\det\left( A-XI_3\right)
&=\left|\begin{array}{ccc} 1-X&0&1\\0&2-X&1\\0&1&-X\enar\right| \\
&=(1-X)\Bigl(-X(2-X)-1\Bigr)\\[.5em]
&=(1-X)\left( X^2-2X-1\right)
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex01_c/4.png)
or le trinôme du second degré
![$X^2-2X-1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex01_c/5.png)
![$\delta=8>0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex01_c/6.png)
![$A$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex01_c/7.png)
Tags:DiagonalisationMatrices
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