Matrice avec un paramètre: diagonalisable ?
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- DiagonalisationDiagonalisation de matrice et réduction des endomorphismes
- MatricesMatrices
Énoncé du sujet
Soit
un nombre réel et
l'endomorphisme de
dont la matrice dans la base canonique est
![\[A=\lp\begin{array}{rcl}
1&0&1\\
-1&2&1\\
2-m&m-2&m
\end{array}\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03/4.png)
Déterminer les valeurs propres de
,
et préciser pour quelles valeurs de
l'endomorphisme est diagonalisable.
![$m$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03/1.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03/2.png)
![$\R^3$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03/3.png)
![\[A=\lp\begin{array}{rcl}
1&0&1\\
-1&2&1\\
2-m&m-2&m
\end{array}\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03/4.png)
Déterminer les valeurs propres de
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03/5.png)
![$m$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03/6.png)
Correction
On calcule le polynôme caractéristique de
. On a
![\[\chi_A(X)=\left|\begin{array}{ccc}
1-X&0&1\\
-1&2-X&1\\
2-m&m-2&m-X
\enar\right|\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/2.png)
soit, avec
,
![\[\chi_A(X)=\left|
\begin{array}{ccc}
1-X&0&1\\
1-X&2-X&1\\
0&m-2&m-X
\enar\right|\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/4.png)
puis
![\[\begin{array}{ll}\chi_A(X)&=\left|\begin{array}{ccc}
1-X&0&1\\
0&2-X&0\\
0&m-2&m-X
\enar\right|\\[2em]
&=(1-X)\left|\begin{array}{cc}
2-X&0\\
m-2&m-X
\end{array}\right|\\[1.5em]
&=(1-X)(2-X)(m-X)\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/6.png)
Les valeurs propres de
sont donc 1,2 et
.
En particluier, si
et
,
admet trois valeurs
propres distinctes et est donc diagonalisable.
Par contre, si
ou
,
n'admet que deux valeurs propres.
Si
, la valeur propre
est double et il faut connaître
la dimensions de de l'espace propre associé.
Pour
, on a
![\[f(u)=u\iff
\la\begin{array}{rcl}
z&=&0\\
-x+y+z&=&0\\
x-y&=&0\\
\enar\right.
\iff
\left\{}\newcommand{\ra}{\right\}
\begin{array}{rcl}
x&=&x\\
y&=&x\\
z&=&0
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/18.png)
Une base de
est donc donnée par le vecteur
et cet espace propre est de dimension
: la matrice, et l'endomorphisme,
n'est pas diagonalisable.
Si
, c'est la valeur propre
qui est cette fois double,
et l'espace propre associé est donné par
![\[f(u)=2u\iff
\la\begin{array}{rcl}
-x+z&=&0\\
-x+z&=&0\\
0&=&0\\
\enar\right.
\iff
\la\begin{array}{rcl}
x&=&x\\
y&=&y\\
z&=&x
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/24.png)
On a alors
, et
en particulier,
et
est cette fois
diagonalisable.
Méthode 2: avec un calcul de rang
On calcule
:
![\[r=\text{rg}
\lp\begin{array}{ccc}1-\lambda&0&1\\-1&2-\lambda&1\\2-m&m-2&m-\lambda\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/29.png)
soit, intervertissant les lignes 1 et 2:
![\[r=\text{rg}
\lp\begin{array}{ccc}-1&2-\lambda&1\\1-\lambda&0&1\\2-m&m-2&m-\lambda\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/31.png)
puis
et
:
![\[\begin{array}{ll}r&=\text{rg}
\lp\begin{array}{ccc}-1&2-\lambda&1\\0&(1-\lambda)(2-\lambda)&2-\lambda\\
0&m-2+(2-m)(2-\lambda)&2-\lambda\enar\rp\\[2.2em]
&=\text{rg}
\lp\begin{array}{ccc}-1&2-\lambda&1\\0&(1-\lambda)(2-\lambda)&2-\lambda\\
0&(2-m)(1-\lambda)&2-\lambda\enar\right)
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/34.png)
puis
:
![\[r=\text{rg}
\lp\begin{array}{ccc}-1&2-\lambda&1\\0&(1-\lambda)(2-\lambda)&2-\lambda\\
0&(1-\lambda)(\lambda-m)&0\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/36.png)
et enfin, simplement pour finir le pivot de Gauss et obtenir une matrice triangulaire, on intervertit les deux dernières colonnes:
![\[r=\text{rg}
\lp\begin{array}{ccc}-1&1&2-\lambda\\0&2-\lambda&(1-\lambda)(2-\lambda)\\
0&0&(1-\lambda)(\lambda-m)\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/38.png)
On a maintenant un rang
pour
, ou
ou encore
.
Ainsi, si
et
, la matrice a trois valeurs propres
distinctes et est donc diagonalisables.
Il reste à étudier les cas
et
.
Supposons
alors
est valeur propre simple,
et
est valeur propre double avec
![\[r=\text{rg}
\lp\begin{array}{ccc}-1&1&1\\0&1&0\\
0&0&0\enar\rp=2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/50.png)
La dimension de l'espace propre associé est donc 1 et la matrice n'est pas diagonalisable.
Supposons
alors
est valeur propre simple,
et
est valeur propre double avec
![\[r=\text{rg}
\lp\begin{array}{ccc}-1&1&0\\0&0&0\\
0&0&0\enar\rp=1\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/54.png)
La dimension de l'espace propre associé est cette fois 2 et la matrice est diagonalisable.
Correction
Méthode 1: avec le polynôme caractéristiqueOn calcule le polynôme caractéristique de
![$A$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/1.png)
![\[\chi_A(X)=\left|\begin{array}{ccc}
1-X&0&1\\
-1&2-X&1\\
2-m&m-2&m-X
\enar\right|\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/2.png)
soit, avec
![$C_1\leftarrow C_1+C_2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/3.png)
![\[\chi_A(X)=\left|
\begin{array}{ccc}
1-X&0&1\\
1-X&2-X&1\\
0&m-2&m-X
\enar\right|\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/4.png)
puis
![$L_2\leftarrow L_2-L_1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/5.png)
![\[\begin{array}{ll}\chi_A(X)&=\left|\begin{array}{ccc}
1-X&0&1\\
0&2-X&0\\
0&m-2&m-X
\enar\right|\\[2em]
&=(1-X)\left|\begin{array}{cc}
2-X&0\\
m-2&m-X
\end{array}\right|\\[1.5em]
&=(1-X)(2-X)(m-X)\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/6.png)
Les valeurs propres de
![$A$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/7.png)
![$m$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/8.png)
![$m\neq 1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/9.png)
![$m\neq 2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/10.png)
![$A$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/11.png)
Par contre, si
![$m=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/12.png)
![$m=2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/13.png)
![$A$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/14.png)
Si
![$m=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/15.png)
![$\lambda=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/16.png)
Pour
![$u=(x,y,z)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/17.png)
![\[f(u)=u\iff
\la\begin{array}{rcl}
z&=&0\\
-x+y+z&=&0\\
x-y&=&0\\
\enar\right.
\iff
\left\{}\newcommand{\ra}{\right\}
\begin{array}{rcl}
x&=&x\\
y&=&x\\
z&=&0
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/18.png)
Une base de
![$\ker(f-I)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/19.png)
![$(1,1,0)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/20.png)
![$1\neq2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/21.png)
Si
![$m=2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/22.png)
![$\lambda=2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/23.png)
![\[f(u)=2u\iff
\la\begin{array}{rcl}
-x+z&=&0\\
-x+z&=&0\\
0&=&0\\
\enar\right.
\iff
\la\begin{array}{rcl}
x&=&x\\
y&=&y\\
z&=&x
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/24.png)
On a alors
![$\ker(f-2I)=\text{Vect}\bigl\{(1,0,1)\,;\,(0,1,0)\bigr\}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/25.png)
![$\text{dim}\lp\ker(f-2I)\rp=2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/26.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/27.png)
Méthode 2: avec un calcul de rang
On calcule
![$r=\text{rang}\left( A-\lambda I\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/28.png)
![\[r=\text{rg}
\lp\begin{array}{ccc}1-\lambda&0&1\\-1&2-\lambda&1\\2-m&m-2&m-\lambda\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/29.png)
soit, intervertissant les lignes 1 et 2:
![$L_1\leftrightarrow L_2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/30.png)
![\[r=\text{rg}
\lp\begin{array}{ccc}-1&2-\lambda&1\\1-\lambda&0&1\\2-m&m-2&m-\lambda\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/31.png)
puis
![$L_2\leftarrow L_2+(1-\lambda)L_1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/32.png)
![$L_3\leftarrow (2-m)L_1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/33.png)
![\[\begin{array}{ll}r&=\text{rg}
\lp\begin{array}{ccc}-1&2-\lambda&1\\0&(1-\lambda)(2-\lambda)&2-\lambda\\
0&m-2+(2-m)(2-\lambda)&2-\lambda\enar\rp\\[2.2em]
&=\text{rg}
\lp\begin{array}{ccc}-1&2-\lambda&1\\0&(1-\lambda)(2-\lambda)&2-\lambda\\
0&(2-m)(1-\lambda)&2-\lambda\enar\right)
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/34.png)
puis
![$L_3\leftarrow L_3-L_2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/35.png)
![\[r=\text{rg}
\lp\begin{array}{ccc}-1&2-\lambda&1\\0&(1-\lambda)(2-\lambda)&2-\lambda\\
0&(1-\lambda)(\lambda-m)&0\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/36.png)
et enfin, simplement pour finir le pivot de Gauss et obtenir une matrice triangulaire, on intervertit les deux dernières colonnes:
![$C_2\leftrightarrow C_3$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/37.png)
![\[r=\text{rg}
\lp\begin{array}{ccc}-1&1&2-\lambda\\0&2-\lambda&(1-\lambda)(2-\lambda)\\
0&0&(1-\lambda)(\lambda-m)\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/38.png)
On a maintenant un rang
![$r\not=3$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/39.png)
![$\lambda=2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/40.png)
![$\lambda=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/41.png)
![$\lambda=m$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/42.png)
Ainsi, si
![$m\not=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/43.png)
![$m\not=2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/44.png)
Il reste à étudier les cas
![$m=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/45.png)
![$m=2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/46.png)
Supposons
![$m=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/47.png)
![$\lambda=2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/48.png)
![$\lambda=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/49.png)
![\[r=\text{rg}
\lp\begin{array}{ccc}-1&1&1\\0&1&0\\
0&0&0\enar\rp=2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/50.png)
La dimension de l'espace propre associé est donc 1 et la matrice n'est pas diagonalisable.
Supposons
![$m=2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/51.png)
![$\lambda=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/52.png)
![$\lambda=2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/53.png)
![\[r=\text{rg}
\lp\begin{array}{ccc}-1&1&0\\0&0&0\\
0&0&0\enar\rp=1\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex03_c/54.png)
La dimension de l'espace propre associé est cette fois 2 et la matrice est diagonalisable.
Tags:DiagonalisationMatrices
Autres sujets au hasard:
![Lancer de dés](/Colles/des.png)