Loi géométrique est sans mémoire

Une variable aléatoire discrète à valeurs dans $\N$ est dite sans mémoire si, pour tous $n,m\in\N$ ,

$P_{(Y>n)}(Y>n+m)=P(Y>m)$

Montrer que si

suit une loi géométrique alors

est sans mémoire.
Interpréter ce résultat en considérant une suite d'épreuves répétées.

Correction
On a $P(Y=n)=p(1-p)^{n-1}$ et donc (c'est aussi du cours, mais il faut savoir le (re)démontrer)

$\begin{array}{ll} P(Y>n)&=\dsp\sum_{k>n}p(1-p)^{k-1}\\ &=p(1-p)^n\dsp\sum_{k=0}^{+\infty}(1-p)^k\\ &=p(1-p)^n\dfrac1{1-(1-p)}\\[1em] &=(1-p)^n\enar$

et alors,

$\begin{array}{ll}P_{(Y>n)}(Y>n+m) &=\dfrac{P\Bigl( \left( Y>n+m\rp\cap\left( Y>n\rp\Bigr)}{P\left( Y>n\rp}\\[1.2em] &=\dfrac{P\left( Y>n+m\right)}{P\left( Y>n\right)}\\[1.2em] &=\dfrac{(1-p)^{n+m}}{(1-p)^n}\\[1em] &=(1-p)^m\\[.8em] &=P(Y>m)\enar$

est la probabilité d'obtenir le premier succès au k-ième essai lors de la répétition d'épreuves de Bernoulli.
Cette propriété "sans mémoire" s'interprète alors par: après

essais infructueux, la probabilité d'attendre

essais suplémentaires pour obtenir le 1er succès (et donc d'obtenir le 1er succès au bout de

essais), est la même que d'obtenir tout simplement le 1er succès après

essais.
En d'autres termes, de savoir qu'après

essais on n'a pas eu de succès n'apporte aucune information: on oublie tout simplement ces résultats et tout se psse comme si on repartait de 0.

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Tag:Variables aléatoires discrètes

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