Limite nulle et comparaison suite géométrique
Colle de mathématiques
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- Donner la définition de .
- Soit une suite qui vérifie, pour tout entier , . Montrer que tend vers 0.
- Soit une suite de réels non nuls vérifiant . Prouver que converge vers 0.
Correction
Correction
- cf. cours...
siginifie que
- On a rapidement par récurrence que, pour tout entier ,
En effet, on a , puis si on suppose, pour un certain entier , que , alors au rang suivant,
et donc, par hypothèse de récurrence,
ce qui montre que la propriété est héréditaire, et donc vraie pour tout entier d'après le principe de récurrence.
Maintenant, comme , on en déduit que
- Par définition de la limite nulle, on a donc
Ceci étant vrai pour tout , on peut choisir , afin de pouvoir utiliser le résultat de la question précédente.
Il existe alors un entier tel que, pour tout entier , on a
Comme dans la question précédente, on prouve alors (par récurrence) que, pour tout entier ,
et, à nouveau comme , on en déduit que tend vers 0.
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