Limite nulle et comparaison suite géométrique

Donner la définition de $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=0$ .
Soit une suite qui vérifie, pour tout entier , $\left|u_{n+1}\right|<\dfrac12\left|u_n\right|$ . Montrer que tend vers 0.
Soit une suite de réels non nuls vérifiant $\dsp\lim_{n\to+\infty}\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=0$ . Prouver que converge vers 0.

Correction

cf. cours... $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=0$
siginifie que

$\forall\varepsilon>0,\exists N\in\N,\forall n\geqslant N, \left|u_n\right|<\varepsilon$
On a rapidement par récurrence que, pour tout entier ,

$\left|u_n\right|<\lp\dfrac12\rp^n\left|u_0\right|$
En effet, on a $\left|u_1\right|<\dfrac12\left|u_0\right|$ , puis si on suppose, pour un certain entier , que $\left|u_n\right|<\lp\dfrac12\rp^n\left|u_0\right|$ , alors au rang suivant,

$\left|u_{n+1}\right|<\dfrac12\left|u_n\right|$

et donc, par hypothèse de récurrence,

$\left|u_{n+1}\right|<\dfrac12\,\lp\dfrac12\rp^n\left|u_0\right|$

ce qui montre que la propriété est héréditaire, et donc vraie pour tout entier d'après le principe de récurrence.

Maintenant, comme $\dsp\lim_{n\to+\infty}\lp\dfrac12\rp^n=0$ , on en déduit que

$\lim_{n\to+\infty}u_n=0$
Par définition de la limite nulle, on a donc

$\forall\varepsilon>0,\exists N\in\N,\forall n\geqslant N, \left|\dfrac{v_{n+1}}{v_n}\right|<\varepsilon$

Ceci étant vrai pour tout $\varepsilon$ , on peut choisir $\varepsilon=\dfrac12$ , afin de pouvoir utiliser le résultat de la question précédente.
Il existe alors un entier tel que, pour tout entier $n\geqslant N$ , on a

$\left|\dfrac{v_{n+1}}{v_n}\right|<\dfrac12 \iff\left|v_{n+1}\right|<\dfrac12\left|v_n\right|$

Comme dans la question précédente, on prouve alors (par récurrence) que, pour tout entier $n\geqslant N$ ,

$\left|v_n\right|<\lp\dfrac12\rp^{n-N}\left|v_N\right|$

et, à nouveau comme $\dsp\lim_{n\to+\infty}\lp\dfrac12\rp^{n-N}=0$ , on en déduit que tend vers 0.

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