Inégalité des accroissements finis - Convergence d'une suite
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- SuitesSuites
- Rolle - AFThéorème de Rolle et théorème des accroissements finis
Énoncé du sujet
On considère la suite
définie par
.
Pour tout entier
, on définit de plus la fonction
définie
par
.
En utilisant l'inégalité des accroissements finis appliquée à
sur
montrer la suite
converge, et déterminer sa limite.


Pour tout entier



En utilisant l'inégalité des accroissements finis appliquée à

![$[0;1]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAF1/7.png)

Correction
est dérivable sur
avec
et donc,
pour
, on a
.
Ainsi, d'après l'inégalité des accroissement finis sur
,
on obtient donc
![\[
\left|f_n(1)-f_n(0)\right|\leqslant\dfrac{1}{n!}
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAF1_c/7.png)
soit
![\[
\left|\frac{u_n}{e}-1\right|\leqslant\dfrac{1}{n!}
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAF1_c/8.png)
ce qui montre que
.
Correction



![$x\in[0;1]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAF1_c/4.png)

Ainsi, d'après l'inégalité des accroissement finis sur
![$[0;1]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAF1_c/6.png)
![\[
\left|f_n(1)-f_n(0)\right|\leqslant\dfrac{1}{n!}
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAF1_c/7.png)
soit
![\[
\left|\frac{u_n}{e}-1\right|\leqslant\dfrac{1}{n!}
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAF1_c/8.png)
ce qui montre que

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