Gain aux fléchettes


On lance une fléchette sur une cible circulaire de rayon égal à 1 mètre. La probabilité d'atteindre une zone donnée de la cible est proportionnelle à l'aire de cette zone.
  1. On note R la distance séparant le centre de la cible de la fléchette. Déterminer la loi de R.
  2. Pour participer au jeu, on mise 1 euro, et on gagne à chaque fois $\dfrac{k}R$ euros.
    On note $G$ le gain algébrique du joueur. Calculer l'espérance de $G$.
  3. L'organisateur espère gagner 0,20 euro par partie en moyenne. Quelle valeur doit-il donner à k ?
    Dans la suite, k prend cette valeur.
  4. Quels sont les gains possibles du joueur ? Que vaut $P(G\geq5)$ ? Et $P(G\geq0)$ ?

Correction
  1. On a $R(\Omega)=[0;1]$, et pour $r\in[0;1]$, on a $P(R\leq r)=\dfrac{\pi r^2}{\pi 1^2}=r^2$.
    La densité de probabilité s'obtient alors par dérivation: $f_R(r)=2r$ si $r\geq0$, $f_R(r)=0$ sinon.
  2. Le gain est $G=\dfrac{k}R-1$, et son espérance
    \[\begin{array}{ll}E(G)&=\dsp\int_0^1\lp\dfrac{k}r-1\rp2rdr\\[1em]
  &=2k\dsp\int_0^1dr-2\int_0^1rdr\\[.8em]
  &=2k-1\enar\]


  3. L'organisateur veut donc $E(G)=2k-1=0,20\iff k=0,6$.
  4. Comme $G=\dfrac{k}R-1=\dfrac{0,6}R-1$, on a $G(\Omega)=[-0,4\,;\,+\infty[$, et
    \[P(G\geq5)=P\lp\dfrac{0,6}R-1\geq5\right)
  =P\left( R\leq0,1\rp=0,1^2=0,01\]

    donc 1% de chance de gagner plus de 5 euros, et
    \[P(G\geq0)=P\lp\dfrac{0,6}R-1\geq0\right)
  =P\left( R\leq0,6\rp=0,6^2=0,36\]

    donc environ 1 chance sur trois d'être gagnant, donc aussi environ deux chances sur trois d'être perdant.


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Tag:Variables aléatoires continues

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