Famille construite à partir de n vecteurs libres
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Espace vectorielEspaces vectoriels
Énoncé du sujet
Soit
une famille libre d'un
-espace vectoriel
.
Pour
, on pose
et
.
Etudier l'indépendance linéaire de la famille
.
![$(v_1,\dots,v_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exF3/1.png)
![$\mathbb R$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exF3/2.png)
![$E$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exF3/3.png)
![$k=1,\dots,n$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exF3/4.png)
![$w_k=v_k+v_{k+1}$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exF3/5.png)
![$w_n=v_n+v_1$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exF3/6.png)
Etudier l'indépendance linéaire de la famille
![$(w_1,\dots,w_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exF3/7.png)
Correction
tels que
![\[\lambda_1w_1+\dots +\lambda_nw_n=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exF3_c/2.png)
alors,
![\[\sum_{k=1}^{n-1}\lambda_k(v_k+v_{k+1})+\lambda_n (v_n+v_1)=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exF3_c/3.png)
ou encore
![\[(\lambda_1+\lambda_n)v_1+\sum_{k=2}^n(\lambda_k+\lambda_{k+1})v_k=0.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exF3_c/4.png)
Comme le système
est linéairement indépendant,
on en déduit le système :
![\[\la\begin{array}{rcl}
\lambda_n&=&-\lambda_1\\
\lambda_k&=&-\lambda_{k-1}\textrm{ pour }2\leq k\leq n.
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exF3_c/6.png)
La deuxième égalité donne facilement par récurrence, pour
,
.
En particulier, on a
.
On discute maintenant suivant la parité de
:
Correction
Soit![$\lambda_1,\dots,\lambda_n$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exF3_c/1.png)
![\[\lambda_1w_1+\dots +\lambda_nw_n=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exF3_c/2.png)
alors,
![\[\sum_{k=1}^{n-1}\lambda_k(v_k+v_{k+1})+\lambda_n (v_n+v_1)=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exF3_c/3.png)
ou encore
![\[(\lambda_1+\lambda_n)v_1+\sum_{k=2}^n(\lambda_k+\lambda_{k+1})v_k=0.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exF3_c/4.png)
Comme le système
![$(v_1,\dots,v_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exF3_c/5.png)
![\[\la\begin{array}{rcl}
\lambda_n&=&-\lambda_1\\
\lambda_k&=&-\lambda_{k-1}\textrm{ pour }2\leq k\leq n.
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exF3_c/6.png)
La deuxième égalité donne facilement par récurrence, pour
![$2\leq k\leq n$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exF3_c/7.png)
![$\lambda_k=(-1)^{k-1}\lambda_1$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exF3_c/8.png)
![$\lambda_n=(-1)^{n-1}\lambda_1$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exF3_c/9.png)
![$n$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exF3_c/10.png)
- Si
est impair, alors on a à la fois
et
. Ceci impose
, et par suite
pour tout
. Le système est libre.
- Si
est pair, la dernière équation est
, qui est la même que la première.
On a alors un système deéquations à
inconnues. Si on fixe par exemple
, on a
, et on a donc trouvé une combinaison linéaire nulle non triviale
.
La famille est liée.
Tag:Espace vectoriel
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