Exponentielle itérées


Soit $f:\R\to\R,\, x\mapsto e^{-x}e^{-e^{-x}}$.
  1. Montrer que f est une densité de probabilité.
  2. Soit $X$ une variable admettant $f$ pour densité. Déterminer la loi de $Y=exp(-X)$ et son espérance.
  3. Établir que $X$ possède une espérance.

Correction
  1. $f$ est clairement positive et continue et de plus
    \[\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x}e^{-e^{-x}}dx
  =\left[ e^{-e^{-x}}\rb_{-\infty}^{+\infty}=1-0=1\]

    ce qui finit de montrer que $f$ est bien une densité de probabilité.
  2. On a $Y(\Omega)=\R_+^*$ et, pour $y>0$,
    \[F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(X\geq-\ln(y))=1-F_X(-\ln(y))
  =e^{-y}\]

    d'où $Y$ suit la loi exponentielle $\mathcal{E}(1)$.
    On a alors directement aussi $E(Y)=1$.

  3. \[E(X)=E(-\ln(Y))
  =\int_0^{+\infty}-ln(y)e^{-y}dy\]

    Il s'agit d'une intégrale généralisée, d'une fonction continue sur $]0;+\infty[$.
    Il reste donc à vérifier que cette intégrale converge aussi en 0 et $+\infty$.

    En 0, on a
    \[-\ln(y)e^{-y}\sim -\ln(y)\]

    qui est intégrable en 0 (ce qu'on peut redémontrer en utilisant une primitive $y\mapsto y\ln(y)-y$ de $\ln(y)$).

    En $+\infty$, on a par croissances comparées
    \[\lim_{y\to+\infty}y^2\lp-\ln(y)e^{-y}\rp=0\]

    c'est-à-dire que
    \[-\ln(y)e^{-y}\underset{+\infty}{=}o\lp\dfrac1{y^2}\rp\]

    et est donc convergente par comparaison avec une intégrale de Riemann (avec $\alpha=2>1$).

    Ainsi l'intégrale existe et l'espérance aussi.


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Tag:Variables aléatoires continues

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