Exponentielle itérées
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Variables aléatoires continuesVariables aléatoires continues
Énoncé du sujet
Soit .
- Montrer que f est une densité de probabilité.
- Soit une variable admettant pour densité. Déterminer la loi de et son espérance.
- Établir que possède une espérance.
Correction
Correction
- est clairement positive et continue et de plus
ce qui finit de montrer que est bien une densité de probabilité. - On a et, pour ,
d'où suit la loi exponentielle .
On a alors directement aussi .
-
Il s'agit d'une intégrale généralisée, d'une fonction continue sur .
Il reste donc à vérifier que cette intégrale converge aussi en 0 et .
En 0, on a
qui est intégrable en 0 (ce qu'on peut redémontrer en utilisant une primitive de ).
En , on a par croissances comparées
c'est-à-dire que
et est donc convergente par comparaison avec une intégrale de Riemann (avec ).
Ainsi l'intégrale existe et l'espérance aussi.
Tag:Variables aléatoires continues
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