Étude de la convergence de la série

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Étudier la convergence de la série de terme général $u_n=\dfrac1{\sqrt{n}}\ln\lp1+\dfrac1{\sqrt{n}}\rp$

Correction

On a, en 0, $\ln(1+u)\sim u$ , et donc ici,

$u_n=\dfrac1{\sqrt{n}}\ln\lp1+\dfrac1{\sqrt{n}}\right) \sim \dfrac1{\sqrt{n}}\tm\dfrac1{\sqrt{n}} =\dfrac1n$

qui est le terme général d'une série de Riemann divergente, et la série est aussi donc divergente.

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