Étude de fonction, bijection et réciproque


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:
  • DérivéeEtude de fonctions (dérivée, continuité, variations, limites, ...)

Énoncé du sujet

Soit $f$ la fonction définie par l'expression $f(x)=xe^x$.
  1. Étudier les variations de $f$.
    Préciser la tangente à la courbe de $f$ à l'origine.
  2. Justifier que $f$ réalise une bijection de $I=[-1;+\infty[$ sur un intervalle $J$ que l'on précisera.
  3. Tracer dans un repère l'allure de $f$ et celle de sa fonction réciproque.
  4. On note $g$ la fonction réciproque de $f$. Montrer que, pour $x\in J$ et $x\not=0$, $g'(x)=\dfrac{g(x)}{x\lp1+g(x)\right)}$.



Correction

Correction

  1. $f'(x)=(1+x)e^x$, ainsi $f'(x)\leqslant0$ et $f$ est décroissante sur $]-\infty;-1]$, et $f'(x)\geqslant0$ et $f$ croissante sur $[-1;+\infty[$.
    On peut compléter avec les limites: $\dsp\lim_{x\to-\infty}xe^x=0$, par croissances comparées, et $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

    À l'origine, en $x=0$, la tangente a pour équation $y=f'(0)(x-0)+f(0)=x$.
  2. $f$ est donc une bijection entre $[-1;+\infty[$ et $f([-1;+\infty[)=[f(-1);+\infty[=[-e^{-1};+\infty[$.
  3. Les courbes de $f$ et de sa réciproque sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$.
  4. Comme $f'(x)$ ne s'annule pas sur $]-1;+\infty[$, $g$ est dérivable sur $]-e^{-1};+\infty[$.
    Comme f(g(x))=x pour tout $x\in]-e^{-1};+\infty[$, on obtient en dérivant, $g'(x)f'\left( g(x)\rp=1$, soit $g'(x)=\dfrac{1}{f'\left( g(x)\right)}$.
    Or $f'(x)=(1+x)e^x$, donc $g'(x)=\dfrac{1}{(1+g(x))e^{g(x)}}$,
    et de plus $g(x)e^{g(x)}=f(g(x))=x$, donc aussi $e^{g(x)}=\dfrac{x}{g(x)}$.
    Ainsi, $g'(x)=\dfrac{1}{e^{g(x)}+g(x)e^{g(x)}}=\dfrac{1}{\dfrac{x}{g(x)}+x} =\dfrac{g(x)}{x(1+g(x))}$.


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