Espérance et fonction de répartition
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Variables aléatoires continuesVariables aléatoires continues
Énoncé du sujet
Soit
une densité de probabilité d'une variable aléatoire
à valeurs dans
, et
sa fonction de répartition.
On note:
![\[\forall t\geqslant0,\ Q(t) =1-F(t)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Efp/5.png)
On suppose qu'il existe
tel que
![\[\lim_{t\to+\infty}t^\alpha Q(t)=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Efp/7.png)




![\[\forall t\geqslant0,\ Q(t) =1-F(t)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Efp/5.png)
On suppose qu'il existe

![\[\lim_{t\to+\infty}t^\alpha Q(t)=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Efp/7.png)
- Montrer que
existe et que
- Soit
, … ,
,
variables aléatoires indépendantes, toutes de loi exponentielle de paramètre 1.
On note.
Déterminerla fonction de répartition de
.
En déduire l'espérance et la variance de.
- Soit
qui suit une loi géométrique de paramètre
. On note
.
Déterminerpour tout
.
La variable aléatoireadmet-elle une espérance ? Si oui, la calculer.
Correction
Soit
une densité de probabilité d'une variable aléatoire
à valeurs dans
.
On note:
![\[\forall t\geqslant0,\ Q(t) =1-F(t)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Efp_c/4.png)
On suppose qu'il existe
tel que
![\[\lim_{t\to+\infty}t^\alpha Q(t)=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Efp_c/6.png)
Correction
Oral ENSAE - Saclay - 2019Soit



![\[\forall t\geqslant0,\ Q(t) =1-F(t)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Efp_c/4.png)
On suppose qu'il existe

![\[\lim_{t\to+\infty}t^\alpha Q(t)=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Efp_c/6.png)
-
converge par comparaison avec une intégrale de Riemann car
avec
.
En intégrant alors par parties avecet
, on a
où- [
]
et donc
- [
] pour tout
, et comme
, on a le théorème des gendarmes
d'où
- [
- On a, par indépendance,
La variable aléatoiresuit donc la loi exponentielle de paramètre
, et on a donc aussi, en particulier
et
- De même que précédemment, on a maintenant, pour
,
Maintenant, d'après la première question, avec
qui vérifie bien, par croissances comparées,
On a vu alors queexiste avec
Tag:Variables aléatoires continues
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