Espérance et fonction de répartition


Soit $f$ une densité de probabilité d'une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $[0;+\infty[$, et $F$ sa fonction de répartition. On note:
\[\forall t\geqslant0,\ Q(t) =1-F(t)\]

On suppose qu'il existe $\alpha>1$ tel que
\[\lim_{t\to+\infty}t^\alpha Q(t)=0\]

  1. Montrer que $E[X]$ existe et que
    \[E[X]=\int_0^{+\infty}Q(t)\,dt\]

  2. Soit $X_1$, … , $X_n$, $n$ variables aléatoires indépendantes, toutes de loi exponentielle de paramètre 1.
    On note $U_n=\min\left( X_1, \dots , X_n\rp$.
    Déterminer $K_n$ la fonction de répartition de $U_n$.
    En déduire l'espérance et la variance de $U_n$.
  3. Soit $N$ qui suit une loi géométrique de paramètre $p\in]0, 1[$. On note $U=\min\left( X_1, \dots , X_N\rp$.
    Déterminer $P(U > x)$ pour tout $x\in\R_+$.
    La variable aléatoire $U$ admet-elle une espérance ? Si oui, la calculer.

Correction
Oral ENSAE - Saclay - 2019

Soit $f$ une densité de probabilité d'une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $[0;+\infty[$. On note:
\[\forall t\geqslant0,\ Q(t) =1-F(t)\]

On suppose qu'il existe $\alpha\geqslant1$ tel que
\[\lim_{t\to+\infty}t^\alpha Q(t)=0\]

  1. $\dsp\int_0^{+\infty}Q(t)\,dt$ converge par comparaison avec une intégrale de Riemann car $\dsp\lim_{t\to+\infty}t^\alpha Q(t)=0$ avec $\alpha>1$.

    En intégrant alors par parties avec $u(t)=Q(t)$ et $v'(t)=1$, on a
    \[\int_0^{+\infty}Q(t)\,dt
  =\Bigl[\,Q(t) t\,\Bigr]_0^{+\infty}-\int_0^{+\infty}Q'(t)t\,dt\]

    • [$\bullet$] $Q'(t)=-F'(t)=-f(t)$ et donc
      \[-\int_0^{+\infty}Q'(t)t\,dt=\int_0^{+\infty}tf(t)\,dt=E(X)\]

    • [$\bullet$] pour tout $t>1$, et comme $\alpha>1$, on a le théorème des gendarmes
      \[0\leqslant tQ(t)\leqslant t^\alpha Q(t)\underset{t\to+\infty}{\to}0\]

      d'où
      \[\Bigl[\,Q(t) t\,\Bigr]_0^{+\infty}=0\]

    En résumé on a bien
    \[E[X]=\int_0^{+\infty}Q(t)\,dt\]


  2. On a, par indépendance,
    \[\begin{array}{lcl}K_n(t)&=&P(U_n\leqslant t)\\
    &=&1-P(U_n\geqslant t)\\
    &=&1-P\left( X_1\geqslant t \cap \dots X_n\geqslant t\rp\\
    &=&1-\dsp\prod_{i=1}^nP(X_i\geqslant t)\\
    &=&1-\left( e^{-x}\rp^n=1-e^{-nx}
    \enar\]

    La variable aléatoire $U_n$ suit donc la loi exponentielle de paramètre $n$, et on a donc aussi, en particulier
    \[E[U_n]=\dfrac1n\]

    et
    \[V[X]=\dfrac1{n^2}\]


  3. De même que précédemment, on a maintenant, pour $x\geqslant0$,
    \[\begin{array}{lcl}P(U>x)&=&\sum_{n=1}^{+\infty}P(U>x\cap N=n)\\
    &=&\dsp\sum_{n=1}^{+\infty}P(U_n>x\cap N=n)\\
    &=&\dsp\sum_{n=1}^{+\infty}P(U_n>x)(N=n)\\
    &=&\dsp\sum_{n=1}^{+\infty}e^{-nx}pq^{n-1}\\
    &=&\dfrac{p}q\dsp\sum_{n=1}^{+\infty}\left( qe^{-x}\rp^n\\
    &=&\dfrac{p}qqe^{-x}\dfrac1{1-qe^{-x}}\\
    &=&\dfrac{pe^{-x}}{1-qe^{-x}}
    \enar\]

    Maintenant, d'après la première question, avec
    \[Q(x)=\dfrac{pe^{-x}}{1-qe^{-x}}\]

    qui vérifie bien, par croissances comparées,
    \[\lim_{x\to+\infty}x^2Q(x)=\lim_{x\to+\infty}px^2e^{-x}=0\]

    On a vu alors que $E(U)$ existe avec
    \[\begin{array}{lcl}E(U)&=&\dsp\int_0^{+\infty}Q(x)dx\\[1.2em]
    &=&\dsp\int_0^{+\infty}\dfrac{pe^{-x}}{1-qe^{-x}}dx\\[1.2em]
    &=&\lb\,\dfrac{p}q\ln\lp1-qe^{-x}\rp\,\rb_0^{+\infty}\\[1.2em]
    &=&\dfrac{p}q\ln(1-q)
    \enar\]



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