Équation polynomiale de degré 4
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:Énoncé du sujet
Résoudre dans
, puis dans
, l'équation:
![$\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.1/1.png)
![$\C$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.1/2.png)
![$\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{x^3}{8}+\dfrac{x^4}{16}=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.1/3.png)
Correction
et donc, pour
(mais de toute façon,
n'est pas solution),
![\[\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{x^3}{8}+\dfrac{x^4}{16}
=\dfrac{x}{2}\dfrac{1-\lp\dfrac{x}{2}\rp^4}{1-\dfrac{x}{2}}
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.1_c/4.png)
et donc, dans
,
si et seulement si
ou
.
n'est pas solution, et
donc, dans
, l'équation a deux solutions
et
.
Dans
, on a la même factorisation, mais par contre
pour
racine quatrième de l'unité,
soit
, pour
,
,
et donc l'équation admet 4 solutions (
n'est toujours pas solution...):
![\[\mathcal{S}=\la0;\, 2i,\, -2,\, -2i \ra\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.1_c/20.png)
Correction
Il s'agit de la somme de termes en progression géométrique, de raison![$\dfrac{x}{2}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.1_c/1.png)
![$x\not=2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.1_c/2.png)
![$x=2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.1_c/3.png)
![\[\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{x^3}{8}+\dfrac{x^4}{16}
=\dfrac{x}{2}\dfrac{1-\lp\dfrac{x}{2}\rp^4}{1-\dfrac{x}{2}}
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.1_c/4.png)
et donc, dans
![$\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.1_c/5.png)
![$\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{x^3}{8}+\dfrac{x^4}{16}=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.1_c/6.png)
![$x=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.1_c/7.png)
![$\lp\dfrac{x}{2}\rp^4=1\iff x=\pm2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.1_c/8.png)
![$x=2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.1_c/9.png)
![$\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.1_c/10.png)
![$x=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.1_c/11.png)
![$x=-2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.1_c/12.png)
Dans
![$\C$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.1_c/13.png)
![$\lp\dfrac{x}{2}\rp^4=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.1_c/14.png)
![$\dfrac{x}{2}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.1_c/15.png)
![$\dfrac{x}{2}=e^{2ik\pi/4}=e^{ik\pi/2}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.1_c/16.png)
![$k\in\N$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.1_c/17.png)
![$0\leqslant k\leqslant3$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.1_c/18.png)
![$x=2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.1_c/19.png)
![\[\mathcal{S}=\la0;\, 2i,\, -2,\, -2i \ra\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEqdeg4.1_c/20.png)
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