Équation différentielle - 1er ordre, coefficients non constants
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Équation différentielleÉquation différentielle
Énoncé du sujet
Résoudre sur
l'équation différentielle:
.
![$]0;+\infty[$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.3/1.png)
![$xy'-y+\ln(x)=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.3/2.png)
Correction
.
L'équation homogène associée est
![\[E_0: xy'-y=0
\iff \dfrac{y'}{y}=\dfrac1x\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.3_c/2.png)
et donc, en intégrant,
![\[y=Cx\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.3_c/3.png)
où
est une constante quelconque.
Pour Déterminer une solution particulière de
,
on peut essayer de faire varier la constante:
et alors
![\[xy'-y=-\ln(x)
\iff C'x=\ln(x)
\iff C'=\dfrac{\ln(x)}{x}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.3_c/7.png)
On peut alors directement intégrer, car
avec
,
et donc
.
Les solutions de
sont donc les fonctions qui s'écrivent sous la forme,
![\[y(x)=x\lp\ln(x)\rp^2+Cx\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.3_c/12.png)
pour toute constante
.
Correction
Soit![$E: xy'-y+\ln(x)=0\iff xy'-y=-\ln(x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.3_c/1.png)
L'équation homogène associée est
![\[E_0: xy'-y=0
\iff \dfrac{y'}{y}=\dfrac1x\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.3_c/2.png)
et donc, en intégrant,
![\[y=Cx\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.3_c/3.png)
où
![$C$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.3_c/4.png)
Pour Déterminer une solution particulière de
![$E$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.3_c/5.png)
![$y'=C'x+C$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.3_c/6.png)
![\[xy'-y=-\ln(x)
\iff C'x=\ln(x)
\iff C'=\dfrac{\ln(x)}{x}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.3_c/7.png)
On peut alors directement intégrer, car
![$C'=u'u$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.3_c/8.png)
![$u=\ln(x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.3_c/9.png)
![$C=\dfrac12u^2=\dfrac12\lp\ln(x)\rp^2$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.3_c/10.png)
Les solutions de
![$E$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.3_c/11.png)
![\[y(x)=x\lp\ln(x)\rp^2+Cx\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.3_c/12.png)
pour toute constante
![$C$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.3_c/13.png)
Tag:Équation différentielle
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