Équation différentielle - 1^er ordre, coefficients constants

Résoudre: $y'+y=xe^{-x}$

Correction
L'équation homogène est

et a pour solutions les fonctions $x\mapsto ke^{-x}$ , $k\in\R$ .
Faisons varier la constante: $y(x)=k(x)e^{-x}$ , alors $y'(x)+y(x)=k'(x)e^{-x}=xe^{-x}$ et donc

, d'où $k(x)=\dfrac12x^2$ .
Ainsi $y(x)=\dfrac12x^2e^{-x}$ est une solution particulière, et les solutions générales sont $x\mapsto \dfrac12x^2e^{-x}+ke^{-x}$ , $k\in\R$ .

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