Endomorphisme antisymétrique


Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n\geq 2$. Un endomorphisme $u\in\mathcal L(E)$ est dit antisymétrique si

\[\forall x,y\in E,\ \langle u(x),y\rangle=-\langle x,u(y)\rangle\]

  1. Montrer que $u$ est antisymétrique si et seulement si, pour tout $x\in E$, $\langle x,u(x)\rangle=0$.

    Dans la suite, $u$ est un endomorphisme antisymétrique,
  2. Démontrer que $\text{Im}(u)=(\ker u)^\perp$.
  3. Soit $F$ un sous-espace de $E$ stable par $u$. Démontrer que $F^\perp$ est stable par $u$.
  4. Montrer que $\ker(u)=\ker(u^2)$.
  5. Démontrer que le spectre de $u$ est soit vide, soit restreint à $\{0\}$.
  6. Montrer que les valeurs propres de $u^2$ sont négatives.

Correction
  1. Si $u$ est antisymétrique, pour tout $x\in E$, alors $\langle u(x),x\rangle=-\langle x,u(x)\rangle=-\langle u(x),x\rangle$ et donc $\langle u(x),x\rangle=0$.

    Réciproquement, supposons que $\langle u(x),x\rangle=0$ pour tout $x\in E$.
    Soit $x,y\in E$, alors on a
    \[\langle u(x+y),x+y\rangle=0\]

    et alors
    \[\begin{array}{lcl}
  0=\langle u(x+y),x+y\rangle
  &=&\langle u(x),x\rangle+\langle u(x),y\rangle+\langle u(y),x\rangle+\langle u(y),y\rangle\\[.6em]
&=& \langle u(x),y\rangle+\langle u(y),x\rangle
\enar\]

    ce qui prouve bien que
    \[\langle u(x),y\rangle=-\langle u(y),x\rangle\]

    c'est-à-dire que $u$ est antisymétrique.
  2. Soit $y\in \text{Im}(u)$, c'est-à-dire $y=u(x)$ et soit $z\in\ker(u)$.
    On a alors
    \[\langle y,z\rangle
  =\langle u(x),z\rangle
  =-\langle x,u(z)\rangle=0\]

    ce qui montre qu'on on a $y\in(\ker u)^\perp$, et donc que $\text{Im}(u)\subset(\ker u)^\perp$

    Par ailleurs, on peut aussi raisonner avec les dimensions, et avec le théorème du rang:
    \[\begin{array}{ll}
  \dim(\ker u)^\perp&=n-\dim(\ker u)\\
  &=n-\bigl(n-\dim(\text{Im}(u))\bigr)\\
  &=\dim(\text{Im}(u)
  \enar\]

    ce qui finit donc de montrer l'égalité recherchée.
  3. Soit $x\in F$ et $y\in F^\perp$. Alors on a
    \[\langle u(y),x\rangle=-\langle y,u(x)\rangle=0\]

    puisque $u(x)\in u(F)\subset F$ et $y\in F^\perp$.
  4. On a toujours $\ker(u)\subset \ker(u^2)$ car si $x\in\ker(u)$ alors $u(x)=0$ donc $u(u(x))=u^2(x)=0$.

    Réciproquement, soit $x\in\ker(u^2)$. Alors
    $$\|u(x)\|^2=\langle u(x),u(x)\rangle=-\langle x,u^2(x)\rangle=0$$

    et donc $x\in \ker(u)$.
  5. Si le spectre de $u$ n'est pas vide, soit $\lambda$ une valeur propre de $u$ et $x$ un vecteur propre (non-nul) associé. Alors
    \[\langle u(x),x\rangle=0\]

    alors que l'on a aussi
    \[\langle u(x),x\rangle
  =\langle \lambda x,x\rangle=\lambda \|x\|^2\]

    et donc nécessairement $\lambda=0$.
  6. Soit $\lambda$ une valeur propre de $u^2$, de vecteur propre associé $x$.
    On a alors
    \[\langle u^2(x),x\rangle=\lambda \|x\|^2\]

    et d'autre part,
    \[\langle u^2(x),x\rangle=-\langle u(x),u(x)\rangle=-\|u(x)\|^2\]

    ce qui prouve bien que $\lambda\leq 0$.


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