Éléments caractéristiques d'une projection orthogonale


L'espace $\R^3$ est muni de son produit scalaire usuel. Soit $p$ l'endomorphisme de $\R^3$ dont la matrice dans la base canonique est

\[A=\dfrac16\lp\begin{array}{ccc}2&2&-2\\2&5&1\\-2&1&5\enar\rp\]
    1. Démontrer que $p$ est un projection.
    2. Déterminer une base de $\ker p$ et de $\text{Im}\,p$.
    3. Démontrer que $p$ est une projection orthogonale sur un plan $\mathcal{P}$ dont on donnera une équation.
  1. Soit $u(x,y,z)\in\R^3$.
    1. Calculer la distance de $u$ au plan $\mathcal{P}$.
    2. En déduire que $\dfrac{|2x-y+z|}{\sqrt6}\leqslant\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

Correction
Oral ENSAE - Planche 10 - 2021
    1. On calcule $A^2$ et on trouve que $A^2=A$, donc que $p^2=p$ ce qui signifie exactement que $p$ est une projection.
    2. Soit $u(x,y,z)$ tel que $pu=0$, soit aussi, en multipliant par 6,
      \[6Au=0\iff\la\begin{array}{rcrcrcl}2x&+&2y&-&2z&=&0\\2x&+&5y&+&z&=&0\\-2x&+&y&+&5z&=&0\enar\right.\]

      d'où, avec $L_2-L_1\to L_2$ et $L_3+L_1\to L_3$,
      \[\la\begin{array}{rcrcrcl}2x&+&2y&-&2z&=&0\\&&3y&+&3z&=&0\\&&3y&+&3z&=&0\enar\right.\]

      On trouve donc $y=-z$ et $x=-2y$, et donc
      \[\ker p=\text{Vect}\Bigl\{ u_0(2,-1,1)\Bigr\}\]


      Maintenant on sait, d'après le théorème du rang, que l'image de $p$ est de dimension 2. Il suffit donc de prendre l'image de deux vecteurs, les images des deux premiers vecteurs de la base canonique donc les deux premières colonnes de la matrice et de vérifier que ces deux vecteurs images ne sont pas liés.
      On pose donc
      \[u_1=6p(e_1)=(2,2,-2)\]

      et
      \[u_2=6p(e_2)=(2,5,1)\]

      Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires et forment donc une base de l'image de $p$ qui est donc
      \[\text{Im} p = \text{Vect}\Bigl\{ u_1, u_2\Bigr\}\]

    3. $p$ est maintenant de plus une projection orthogonale si son image et son noyau sont orthogonales, ici avec la produits scalaires
      \[\langle u_0, u_1\rangle = 4-2-2=0\]

      et
      \[\langle u_0, u_2\rangle = 4-5+1=0\]

      ce qui montre bien que l'image et le noyau de $p$ sont orthogonaux et donc que $p$ est une projection orthogonale.


      Le plan $\mathcal{P}$ est l'image de $p$. Soit maintenant $u(x,y,z)\in\mathcal{P}=\text{Im} p$, alors on a
      \[\langle u, u_0\rangle=0\iff 2x-y+z=0\]

      qui est l'équation du plan image recherchée.
    1. La distance de $u$ au plan $\mathcal{P}$ est $d=\|u-p(u)\|$, qu'il reste à calculer.

      \[\begin{array}{ll}
    u-Au&=\dfrac16\lp\begin{array}{ccc}4x-2y+2z\\-2x+y-z\\2x-y+z\enar\rp\\[1.8em]
    &=\dfrac16\lp\begin{array}{ccc}2(2x-y+z)\\-(2x-y+z)\\2x-y+z\enar\right)
    \enar\]

      d'où la distance
      \[\begin{array}{ll}d&=\|u-p(u)\|^2\\
    &=\dfrac1{6^2}\Bigl(\lp2^2+(-1)^2+1^2\rp\lp2x-y+z\rp^2\Bigr)\\
    &=\dfrac1{\sqrt6}\lp2x-y+z\right)
    \enar\]

    2. La distance minimise la norme, et on a donc (d'après Pythagore aussi)
      \[\forall u\in\R^3, \, \|u-p(u)\|\leqslant\|u\|\]

      qui est directement exactement l'ingélité recherchée.


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