Déterminer les polynômes tels que … (ter)
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- PolynômePolynômes
Énoncé du sujet
Déterminer les polynômes de
tels que
.
![$\R[X]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP22/1.png)

Correction
est un polynôme non nul solution, alors le degré de
, et donc on doit avoir
![\[\deg(P)^2=\deg(P)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP22_c/3.png)
On en déduit que
ou
, c'est-à-dire que le polynôme
est de degré 1 ou 0.
Soit donc
, alors
![\[\begin{array}{lcl}
P\circ P(X)&=&a(aX+b)+b\\
&=&a^2X+(ab+b)\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP22_c/8.png)
et on doit donc avoir
, soit
ou
, et
.
Si
, alors nécessairement
, tandis que si
,
alors
peut être quelconque.
Finalement, on trouve que les solutions sont les polynômes constants et le polynôme identité
.
Correction
Le polynôme nul est solution. Maintenant, si

![\[\deg(P)^2=\deg(P)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP22_c/3.png)
On en déduit que



Soit donc

![\[\begin{array}{lcl}
P\circ P(X)&=&a(aX+b)+b\\
&=&a^2X+(ab+b)\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP22_c/8.png)
et on doit donc avoir




Si




Finalement, on trouve que les solutions sont les polynômes constants et le polynôme identité

Tag:Polynôme
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