Dérivée d'une somme géométrique


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:
  • SuitesSuites
  • DérivéeEtude de fonctions (dérivée, continuité, variations, limites, ...)
  • SommesSommes des termes d'une suite

Énoncé du sujet

Pour $x\in\R$ et $n\in\N^*$, calculer la somme $\dsp\sum_{k=1}^n k x^{k-1}$.


Correction

Correction

Soit la fonction polynôme $f(x)=\dsp\sum_{k=1}^n x^k$.
$f$ est dérivable sur $\R$ (et même $C^\infty$), et on a, pour tout réel $x$, $f'(x)=\sum_{k=1}^nkx^{k-1}$.
Par ailleurs, on a $f(x)=x\dfrac{x^n-1}{x-1}$, et donc
\[\begin{array}{ll} f'(x)&=\dfrac{x^n-1}{x-1}+x\dfrac{nx^{n-1}(x-1)-\left( x^n-1\right)}{(x-1)^2}\\[1em] &=\dfrac{\left( x^n-1\rp(x-1)+nx^n(x-1)-x\left( x^n-1\rp}{(x-1)^2} \\[1em] &=\dfrac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(x-1)^2} \\ \enar\]


On a ainsi, $\displaystyle f'(x)=\sum_{k=1}^nkx^{k-1}= \sum_{k=1}^nkx^{k-1}$.


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