Décomposition en série de Fourier

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Série de FourierSérie de Fourier

Énoncé du sujet

Soit

la fonction créneau, $2\pi$ -périodique: $\la\begin{array}{l} F(t)=1 \text{ pour } t\in[0;\pi[ \\ F(t)=-1 \text{ pour } t\in [\pi;2\pi[\enar\right.$ .
Étudier la série de Fourier de

.

Correction

Correction

est $2\pi$ -périodique et impaire, et ainsi

.
Par ailleurs, pour tout entier

, avec $\omega=\dfrac{2\pi}{T}=1$ ,

$b_n=\dfrac4\pi\int_0^\pi f(x)\sin(n\omega x)dx =\dfrac4\pi\int_0\pi\sin(nx)dx =\dfrac4\pi\Bigl[ -\dfrac1n\cos(nx)\Bigr]_0^\pi =\dfrac{4}{n\pi}\left( 1-\cos(n\pi)\rp$

ou encore, comme $\cos(n\pi)=(-1)^n$ , on obtient $b_{2n}=0$ et $b_{2n+1}=\dfrac{8}{(2n+1)\pi}$ et alors pour tout $x\not=k\pi$ , $k\in\Z$ ,

$f(x)=\dfrac8\pi\sum_{n\geqslant0}\dfrac{\sin((2n+1)x)}{2n+1}$

Tag:Série de Fourier

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