Convergence de la série exponentielle (avec des suites adjacentes)
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:Énoncé du sujet
Soit la suite
définie par
.
On souhaite montrer que
est une suite convergente.
On pose
.
Montrer que ces suites sont adjacentes et conclure.
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex18/1.png)
![$u_n=\dsp\sum_{k=0}^n \dfrac1{k!}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex18/2.png)
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex18/3.png)
On pose
![$v_n=u_n+\dfrac1{n!}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex18/4.png)
Montrer que ces suites sont adjacentes et conclure.
Correction
ce qui montre que
.
Par ailleurs, d'une part,
et donc
est croissante.
D'autre part,
pour
,
ce qui montre que
est décroissante.
Ce qui précède montre que les suites
et
sont adjacentes et convergent donc
vers la même limite
.
Ainsi, en particulier
est convergente.
Correction
On a directement![$v_n-u_n=\dfrac1{n!}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex18_c/1.png)
![$\dsp\lim_{n\to+\infty}v_n-u_n=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex18_c/2.png)
Par ailleurs, d'une part,
![$u_{n+1}-u_n=\dfrac1{(n+1)!}>0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex18_c/3.png)
![$\left( u_n\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex18_c/4.png)
D'autre part,
![$v_{n+1}-v_n=u_{n+1}-u_{n}+\dfrac1{(n+1)!}-\dfrac1{n!}
=\dfrac{2-(n+1)}{(n+1)!}
=\dfrac{1-n}{(n+1)!}\leqslant0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex18_c/5.png)
![$n\geqslant1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex18_c/6.png)
![$\left( v_n\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex18_c/7.png)
Ce qui précède montre que les suites
![$\left( u_n\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex18_c/8.png)
![$\left( v_n\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex18_c/9.png)
![$l$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex18_c/10.png)
Ainsi, en particulier
![$\left( u_n\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex18_c/11.png)
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