Convergence de la "demi somme harmonique" - Inégalité des accroissements finis
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:Énoncé du sujet
-
Démontrer que pour tout , on a
- On pose
Démontrer que
En déduire que converge et déterminer sa limite.
Correction
Correction
- Applique le théorème des accroissements finis à la fonction
sur l'intervalle :
il existe tel que
On conclut car
- On applique l'inégalité précédente pour , ,
jusque .
On somme ces inégalités et on obtient,
en ne gardant que l'inégalité de gauche:
On applique ensuite l'inégalité précédente pour , jusque et on ne garde cette fois que l'inégalité de droite et on obtient
Ceci se réécrit encore en
Par le théorème des gendarmes, on en déduit que converge vers .
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