Coefficients binomiaux, puissance n-ième et inverse


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Soit $n\geqslant1$ un entier naturel.
  1. Soit $p\geqslant1$ un entier. Montrer que $\dsp\sum_{i=1}^p\binom{p}{i}n^{i-1}=\dfrac{(n+1)^p-1}n$.
  2. Soit $A$ la matrice de $\mathcal{M}_n(\R)$ dont tous les coefficients valent 1. Calculer $A^p$ pour tout $p\geqslant1$.
  3. Soit $B=\left( B_{i,j}\rp$ la matrice carrée de taille $n$ définie par
    \[b_{i,j}=\la\begin{array}{rcl}2&\text{ si } &i=j\\1&\text{ si } &i\not=j\enar\right.\]

    Calculer $B^p$ pour $p\geqslant1$.
  4. Montrer que $B$ est inversible et calculer son inverse.



Correction

Correction

  1. En utilisant la formule du binôme de Newton, on a
    \[\begin{array}{ll}\dsp\sum_{i=1}^p\binom{p}{i}n^{i-1} &=\dsp\dfrac1n\sum_{i=1}^p\binom{p}{i}n^i\\[1.5em] &=\dsp\dfrac1n\lp\sum_{i=0}^p\binom{p}{i}n^i-1\rp\\[1.4em] &=\dfrac1n\biggl((n+1)^p-1\biggr)\enar\]

  2. On calcule $A^2$: tous ses coefficients sont égaux à $n$, c'est-à-dire que $A^2=nA$.
    On a donc alors que
    \[A^3=A^2\,A=nA\,A=nA^2=n^2A\]

    puis, par une récurrence immédiate, pour tout $p\geqslant1$,
    \[A^p=n^{p-1}A\]

  3. On remarque que $B=A+I$, où $I$ est la matrice identité de taille $n$.
    On a alors d'après la formue du binôme, comme $I$ et $A$ commutent, et d'après les questions précédentes,
    \[\begin{array}{ll}B^p=(A+I)^p &=\dsp\sum_{i=0}^p\binom{p}{i}A^iI^{p-i}\\[1.5em] &=\dsp\sum_{i=1}^p\binom{p}{i}n^{i-1}A+I\\[1.5em] &=\lp\dfrac{(n+1)^p-1}n\right) A +I \enar\]

  4. Pour montrer que $B$ est inversible on pense bien sûr au déterminant (qui doit être non nul), mais cela ne donne pas directement l'inverse pour autant.
    On peut ici plutôt revenir à la définition et tenter d'utiliser les résultats précédents.
    On cherche une matrice $M$, qui commute avec $B$, telle que
    \[BM=I\]

    Or,d'après la question précédente, on a
    \[B^p=\alpha_p A+I\]

    en notant $\alpha_p=\dfrac{(n+1)^p-1}n$ le coefficient de la première question.
    Comme $B=A+I\iff A=B-I$, on a alors aussi
    \[\begin{array}{ll}&B^p=\alpha_p(B-I)+I\\[.4em] \iff& B^p-\alpha_pB=\lp1-\alpha_p\right) I\\[.4em] \iff& B\left( B^{p-1}-\alpha_pI\rp=\left(1-\alpha_p\rp I\\[.4em] \iff& BM=I\enar\]

    qui montre donc que $B$ est inversible, d'inverse
    \[M=B^{-1}=\dfrac1{1-\alpha_p}\left( B^{p-1}-\alpha_pI\rp\]

    D'après l'unicité de la matrice inverse, on peut affirmer que l'expression précédente ne dépend pas de $p$. On peut donc choisir par exemple $p=2$, ou chercher à aller plus loin généralement:
    \[B^{p-1}=\alpha_{p-1}A+I\]

    et donc
    \[\begin{array}{ll}B^{-1}&=\dfrac1{1-\alpha_p}\left( \alpha_{p-1}A+I-\alpha_pI\rp\\[1.2em] &=\dfrac{\alpha_{p-1}}{1-\alpha_p}A+I \enar\]

    puis, en utilisant l'expression du coefficient $\alpha_p$:
    \[\begin{array}{ll}B^{-1}&=\dfrac{(n+1)^{p-1}-1}{n-\lp(n+1)^p-1\right)}A+I\\[1.2em] &=-\dfrac{(n+1)^{p-1}-1}{(n+1)^p-(n+1)}A+I\\[1em] &=-\dfrac1{n+1}A+I \enar\]


    Remarque: ces calculs poursuivent directement le résultat de la question 2. précédente.
    On peut néanmoins trouver plus simple.
    D'après les relations $B=A+I$ et $A^2=nA$ on a
    \[\begin{array}{ll}BA&=(A+I)A\\ &=A^2+A\\ &=(n+1)A\\ &=(n+1)(B-I) \enar\]

    d'où
    \[\begin{array}{ll}&B-\dfrac1{n+1}BA=I\\[.8em] \iff&B\left( I-\dfrac1{n+1}A\rp=I\enar\]

    et on retrouve l'expression (et l'existence) de l'inverse de $B$.


Tag:Matrices

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