Calculer l'intégrale …


Calculer l'intégrale $\dsp\int_0^{\frac\pi2} x\sin^3 x\,dx$

Correction
Avec la formule d'Euler pour linéariser le $\sin^3$, $\sin^3x=\lp\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\rp^3
=\dfrac{e^{3ix}-e^{-3ix}-3e^{2ix}+3e^{-ix}}{-8i}$,
et on peut continuer les calculs avec les complexes, en utilisant
\[\begin{array}{ll}
\dsp\int_0^{\frac\pi2}xe^{\alpha x}\,dx
&\dsp=\Bigl[ \dfrac1\alpha xe^{\alpha x}\Bigr]_0^{\frac\pi2}
-\dfrac1\alpha\int_0^{\frac\pi2}e^{\alpha x}\,dx\\[1em]
&\dsp=\dfrac{\pi}{2\alpha}e^{\frac{\alpha\pi}{2}}
-\dfrac{1}{\alpha^2}\left( e^{\frac{\alpha\pi}{2}}-1\right)
\enar\]


… d'où …
\[\int_0^{\frac\pi2} x\sin^3 x\,dx=\dfrac79\]



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Tag:Intégrale

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