Avec la trace de matrices


Oral ESCP, BL - 2021
Dans cet exercice, $n$ est un entier supérieur ou égal à 2 et $E =\mathcal{M}_n(\R)$.
Pour toute matrice $A=(a_{i,j})$, on pose $tr(A)=\dsp\sum_{i=1}^na_{i,i}$.
    1. Montrer que l'application $tr : A \to tr(A)$ est linéaire.
    2. Montrer que $tr(A) = tr( ^t\!A)$.

    Dans la suite de l'exercice, on note:
    \[S_n(\R)=\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} M\in\mathcal{M}_n(\R) / M=\, ^t\!M\ra\]

    et
    \[A_n(\R)=\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} M\in\mathcal{M}_n(\R) / M= -^t\!M\ra\]

  1. Montrer que $A_n(\R)$ et $S_n(\R)$ sont supplémentaires dans $E$.
    Pour $A$ de $E$, on note $\Delta_A = \left\{}\newcommand{\ra}{\right\} M\in E / M + ^t\!M = tr(M)A\ra$.
  2. Montrer que $\Delta_A$ est un sous-espace vectoriel de $E$ tel que $A_n(\R)\subset\Delta_A$.
  3. Soit $M\in\Delta_A$. Montrer que $2tr(M)=tr(M) tr(A)$.
  4. Déterminer $\Delta_A$ en discutant suivant les valeurs de $tr(A)$.

Correction
Oral ESCP, BL - 2021
    1. En détaillant par exemple des matrices générales, on a directement que $tr(\lambda A+B)=\lambda tr(A)+tr(B)$.
    2. Par transposition, les éléments diagonaux d'une matrice sont invariants, et donc, en particulier, une matrice et sa transposée ont la même trace.

  1. Soit $M\in E$.
    On pose
    \[A=\dfrac12\left( A - ^t\!A\rp\]

    et
    \[B=\dfrac12\left( A + ^t\!A\rp\]

    telles que $^t\!A=-A$ et $^t\!B=B$, c'est-à-dire que $A\in A_n(\R)$ et $B\in S_n(\R)$, et que
    \[M=A+B\]

    On a donc montré la somme
    \[E=A_n(\R)+B_n(\R)\]

    Il reste à montrer que cette somme est directe. Si $M\in A_n(\R)\cap B_n(\R)$, alors $^t\!M=M$ et $^t\!M=-M$, d'où $M=-M$ et donc $M=0$.
    Ainsi l'intersection de ces deux sous-espaces est réduit à la matrice nulle, et on en déduit que la somme est directe:
    \[E=A_n(\R)\oplus B_n(\R)\]


  2. Par linéarité de la trace et de la tansposition, $\Delta_A$ est un sous-espace vectoriel de $E$:
    • la matrice nulle appartient à $\Delta_A$
    • Pour $M$, $N$ de $\Delta_A$, donc $M+^t\!M=tr(M)A$ et $N+^t\!N=tr(N)$A, et un réel $\lambda$, on a
      \[\begin{array}{lcl}&&(\lambda M+N)+^t\!(\lambda M+N)\\
    &=&\lambda (M+^t\!M)+N+^t\!N\\
    &=&\lambda tr(M)A+tr(N)A\\
    &=&\left( \lambda tr(M)+tr(N)\right) A\\
    &=&tr(\lambda M+N)A\enar\]

      d'où $\lambda M+N\in\Delta_A$

    De plus, si $m\in\ A_n(\R)$, alors $^t\!M=-M$ donc $M+^t\!M=0$, et par ailleurs ces éléments diagonaux sont nuls, d'où $tr(M)=0$. Ainsi, $M\in\Delta_A$.
    On en conclut que $A_n(\R)\subset\Delta_A$.
  3. Si $M\in\Delta_A$, alors
    \[M+^t\!M=tr(M)A\]

    et donc, en appliquant la trace, qui est linéaire,
    \[\begin{array}{ll}&tr\left( M+^t\!M\rp=tr\left( tr(M)A\rp\\
  \iff&tr(M)+tr(M)=tr(M)tr(A)\\
  \iff&2tr(M)=tr(M)tr(A)
  \enar\]


  4. La relation précédente se réécrit
    \[(2-tr(A))tr(M)=0\]

    et donc $tr(A)=2$ est une valeur particulière.
    • si $tr(A)=2$ la relation de la question précédente est triviale, et il faut encore distinguer: si $A$ n'est pas symétrique, il n'y a pas de solution et $\Delta_A=\emptyset$, tandis que si $A$ est symétrique, alors $M=A+B\in\Delta_A$ pour tout $B\in A_n(\R)$.
    • si $tr(A)\not=2$, alors on doit avoir $tr(M)=0$ et donc, par définition de $\Delta_A$, on a $M+^t\!M=0$, d'où $\Delta_A=A_n(\R)$


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