Variation d'un polynome de degré 3 et équation de la tangente

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=2x^3-x^2-4x+1$, et on note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
  1. Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$, puis dresser le tableau de variation de $f$.
  2. Donner l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1.

Correction
  1. $f'(x)=6x^2-2x-4$ est un trinôme du second degré de discriminant $\Delta=100>0$ et admet donc deux racines $x_1=1$ (qui était aussi évidente) et $x_2=-\dfrac23$ et on a donc
    \[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-2/3$ && 1 && $+\infty$ \\\hline $6x^2-2x-4$ &&$+$&\zb&$-$&\zb&$+$&\\\hline &&&&&&&\\ $f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&&&&&\\\hline \end{tabular}\]

  2. La tangente en $a=1$ a pour équation $y=f'(1)(x-1)+f(1)$ soit, avec $f'(1)=0$ et $f(1)=-2$, on obtient l'équation de la tangente (horizontale): $y=-2$.


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Tag:Fonctions et dérivées

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