Un peu de géométrie et du second degré

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Dans un triangle $ ABC$ rectangle en $ A$ , avec $ AB=18m$ et $ AC=8m$ , on place les points $ D$ et $ E$ respectivement sur $ [AC]$ et $ [AB]$ tels que $ AD=BE=x$ .

Déterminer $ x$ pour que l'aire du triangle $ ADE$ soit égale à la moitié de l'aire du triangle $ ABC$ .


\begin{pspicture}(-1.3,0.)(3,3.5) \psline(0,0)(2,0)(0,3)(0,0) \psline(0.8,0)(0... ...\rput(-0.2,2.2){$E$} \rput(0.3,-0.2){$x$} \rput(-0.2,2.6){$x$} \end{pspicture}

Correction
L'aire de $ ADE$ est: $ \mathcal{A}_{ADE}=\dfrac{x\times (18-x)}{2}$ ;

celle de $ ABC$ est $ \mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{8\times 18}{2}=72$ .


On veut $ \mathcal{A}_{ADE}=\dfrac{1}{2}\mathcal{A}_{ABC} \iff \dfrac{x\times (18-x)}{2}=\dfrac{1}{2}\times 72 \iff x^2-18x+72=0 $ .

Cette équation du second degré a pour discriminant $ \Delta=36=6^2$ , d'où les deux solutions: $ x=12$ et $ x=6$ .


De plus, $ D\in[AC]\iff 0\leqslant x\leqslant 8$ , et donc, une seule des deux solutions est possible: $ x=6$ .

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