Tangente à une hyperbole
Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale
Tangente à une hyperbole
Soit
la fonction inverse:
et
sa courbe représentative.
- Déterminer les coordonnées du point
de
d'abscisse
, puis une équation de la tangente
à
en ce point.
- Déterminer les coordonnées des points
et
intersections de
avec les axes de coordonnées.
Vérifier queest le milieu de
.
- Généralisation: reprendre les questions précédentes avec le
point
d'abscisse
.
- Question bonus: en déduire une méthode géométrique de la
construction des tangentes à
.
Correction
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- Les coordonnées de
sont
et
.
- On a
. L'équation de
, tangente à
en
, est:
.
Comme
, et,
, l'équation s'écrit:
, soit
.
coupe l'axe des abscisses en
avec
, d'où
, et ainsi,
.
De même,
coupe l'axe des ordonnées en
avec
, d'où
, et ainsi,
.
Les coordonnées du milieu desont:
et
. Il s'agit des coorodnnées de
qui est donc bien le milieu de
.
- Généralisation:
L'équation de la tangente en
est:
, soit
, et donc,
.
Cette tangente coupe l'axe des abscisses en
tel que
, et donc,
.
Elle coupe l'axe des ordonnées en
tel que
et donc,
, d'où,
.
Les coordonnées du milieu desont alors
, c'est-à-dire les coordonnées du point
.
- Question bonus:
Pour tracer la tangente en un point
de
, on peut par exemple:
- construire
symétrique de
par rapport à
- construire
et
projections de
sur les axes
- comme
est un parallélogramme de centre
,
est le milieu de
et donc, d'après ce qui précède, la droite
est la tangente à
en
.
- construire
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Tag:Fonctions et dérivées
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