Suite récurrente, construction graphique des premiers termes

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac2x+1$ sur $]0;+\infty[$.
On définit la suite $(u_n)$ par $u_0=\dfrac12$ et, pour tout entier $n$, par $u_{n+1}=f(u_n)$.
  1. Calculer $u_1$.
  2. Déterminer le sens de variation de $f$ puis tracer l'allure de la courbe représentative de $f$ dans un repère.
  3. Construire sur ce graphique les points $A_0$, $A_1$, $A_2$, $A_3$ et $A_4$ d'ordonnées nulles et d'absisses $u_0$, $u_1$,…,$u_4$.
  4. Quelle conjecture peut-on faire quant-à la valeur limite de cette suite ? Calculer la valeur exacte de cette limite éventuelle.

Correction
  1. $u_1=f(u_0)=f\lp\dfrac12\rp=\dfrac2{\dfrac12}+1=5$.
  2. On a $f=2\tm\dfrac1x+1$ d'où $f'(x)=2\dfrac{-1}{x^2}=\dfrac{-2}{x^2}$.
    On trouve ainsi que $f'(x)<0$ pour tout $x\in]0;+\infty[$ et donc que $f$ est strictement décroissante sur cete intervalle.
  3. On trace alors l'allure de la courbe et sur le graphique la droite d'équation $y=x$ et on construit les points demandés sur l'axe des abscisses.


    \[\psset{arrowsize=8pt} \begin{pspicture*}(-1,-1)(6,6) \psline{->}(-1,0)(6,0) \psline{->}(0,-1)(0,6) \multido{\i=1+1}{5}{\rput(\i,-.3){\i}\psline(\i,-.08)(\i,.05)} \multido{\i=1+1}{5}{\rput[r](-.1,\i){\i}\psline(-.08,\i)(.05,\i)} %\psplot{.1}{5}{2 x div 1 add} % Definition de la fonction f de u_{n+1}=f(u_n) \newcommand{\f}[1]{2 #1 div 1 add} % Et son tracer: \psplot[linewidth=1.4pt]{0.1}{7}{\f{x}} % ainsi que le tracer de la droite y=x \psplot{-.5}{6.5}{x} % Defintion de la fonction it\'er\'ee: % par ex.: fn{3}{x}=f(f(f(x))) \newcommand\fn[2]{% \ifnum#1=1 \f{#2}% \else \f{\fn{\numexpr#1-1}{#2}}% \fi } % Valeur initiale (u_0) \def\xinit{.5} \def\nmax{4} % Initialisation pour u_0 \psline[linestyle=dashed] (\xinit,0) (!\xinit\space\f{\xinit}) (!\f{\xinit}\space\f{\xinit}) \rput(\xinit,-0.3){$A_0$} % Boucle pour u_1, u_2, ..., u_nmax \multido{\i=1+1}{\nmax}{ \psline[linestyle=dashed] (!\fn{\i}{\xinit} \space 0) (!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\i}{\xinit}) (!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit}) (!\fn{\numexpr\i+1}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit}) \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space 0){$\tm$} \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space -0.3){$A_\i$} } \end{pspicture*}\]


  4. La suite semble tendre vers l'abscisse du point d'intersection entre la courbe de $f$ et la droite d'équation $y=x$.
    L'abscisse de ce point vérifie dont l'équation
    \[f(x)=x\iff\dfrac2x+1=x\]

    soit, en multipliant par $x\not=0$ (car $x=0$ n'est pas solution),
    \[2+x=x^2\iff x^2-x-2=0\]

    Cette équation du second degré a pour discriminant $\Delta=9=3^2>0$ et admet donc deux solutions $x_1=-1$ et $x_2=2$.
    La première solution $x_1<0$ n'est pas celle recherchée, et la seule limite éventuelle est donc $x_2=2$.


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