Suite récurrente avec exponentielle, construction graphique des premiers termes
Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale
On considère la fonction 
définie sur 
par l'expression
.
On définit à partir de cette fonction la suite
définie par 
et, pour tout entier 
, 
.
définie sur par l'expression
.
On définit à partir de cette fonction la suite
définie par et, pour tout entier , .
- Donner une valeur approchée de
.
- Étudier le sens de variation de
.
- Tracer l'allure de la courbe représentative de
dans un repère orthonormal (unité graphique 2cm, ou 2 carreaux).
Construire sur ce graphique les points
, 
, 
et 
d'ordonnées nulles et d'absisses 
, 
,…,
.
- Quelle conjecture peut-on faire quant-à la valeur limite de cette suite ? Calculer la valeur exacte de cette limite éventuelle.
Correction
On considère la fonction
définie sur 
par l'expression
.
On définit à partir de cette fonction la suite
définie par 
et, pour tout entier 
, 
.
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On considère la fonction
définie sur par l'expression
.
On définit à partir de cette fonction la suite
définie par et, pour tout entier , .
-
On a
avec 
donc 
et 
soit 
avec
donc 
et alors 
soit 
.
On a alors
, soit
![\[f'(x)=e^{0,2x-1}+x\times 0,2e^{0,2x-1}=\left( 1+0,2x\right) e^{0,2x-1}\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/exrecgraphexp_c/18.png)
On a
et donc
![\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ &&$-5$ && $+\infty$ \\\hline
$e^{0,2x-1}$ && $+$ & $|$& $+$ &\\\hline
$1+0,2x$ && $-$ & $\zb$ & $+$ &\\\hline
$f'(x)$ && $-$ & $\zb$ & $+$ &\\\hline
&&&&&\\
$g$&&\Large{$\searrow$} &&\Large{$\nearrow$}&\\
&&&$-5e^{-2}$&&\\\hline
\end{tabular}\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/exrecgraphexp_c/20.png)
On trace alors l'allure de la courbe et sur le graphique la droite d'équation
et on construit les points demandés sur l'axe des abscisses.
{\i}\psline(-.08,\i)(.05,\i)}
%\psplot{.1}{5}{2 x div 1 add}
% Definition de la fonction f de u_{n+1}=f(u_n)
\newcommand{\f}[1]{#1 2.718 0.2 #1 mul 1 sub exp mul}
% Et son tracer:
\psplot[linewidth=1.4pt]{0.1}{7}{\f{x}}
% ainsi que le tracer de la droite y=x
\psplot{-.5}{6.5}{x}
% Defintion de la fonction it\'er\'ee:
% par ex.: fn{3}{x}=f(f(f(x)))
\newcommand\fn[2]{%
\ifnum#1=1
\f{#2}%
\else
\f{\fn{\numexpr#1-1}{#2}}%
\fi
}
% Valeur initiale (u_0)
\def\xinit{3}
\def\nmax{3}
% Initialisation pour u_0
\psline[linestyle=dashed]
(\xinit,0)
(!\xinit\space\f{\xinit})
(!\f{\xinit}\space\f{\xinit})
\rput(\xinit,-0.7){$A_0$}
% Boucle pour u_1, u_2, ..., u_nmax
\multido{\i=1+1}{\nmax}{
\psline[linestyle=dashed]
(!\fn{\i}{\xinit} \space 0)
(!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\i}{\xinit})
(!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit})
(!\fn{\numexpr\i+1}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit})
\rput(!\fn{\i}{\xinit}\space 0){$\tm$}
\rput(!\fn{\i}{\xinit}\space -0.7){$A_\i$}
}
\end{pspicture*}\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/exrecgraphexp_c/22.png)
- La suite semble tendre vers 0, l'abscisse d'un des points d'intersection entre la courbe de
et la droite d'équation 
.
L'abscisse de ce point vérifie dont l'équation
![\[f(x)=x\iff xe^{0,2x-1}=x \iff x\left( e^{0,2x-1}-1\rp=0\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/exrecgraphexp_c/25.png)
qui est un produit nul, donc soit
, soit
![\[e^{0,2x-1}=0\iff e^{0,2x-1}=1=e^0\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/exrecgraphexp_c/27.png)
soit encore
.
Comme la suite semble décroissante, la limite ne pourrait être que la première solution 0.
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