Suite récurrente avec exponentielle, construction graphique des premiers termes
Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale
On considère la fonction définie sur par l'expression
.
On définit à partir de cette fonction la suite définie par et, pour tout entier , .
On définit à partir de cette fonction la suite définie par et, pour tout entier , .
- Donner une valeur approchée de .
- Étudier le sens de variation de .
- Tracer l'allure de la courbe représentative de dans un repère orthonormal (unité graphique 2cm, ou 2 carreaux).
Construire sur ce graphique les points , , et d'ordonnées nulles et d'absisses , ,…,.
- Quelle conjecture peut-on faire quant-à la valeur limite de cette suite ? Calculer la valeur exacte de cette limite éventuelle.
Correction
On considère la fonction définie sur par l'expression .
On définit à partir de cette fonction la suite définie par et, pour tout entier , .
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On considère la fonction définie sur par l'expression .
On définit à partir de cette fonction la suite définie par et, pour tout entier , .
-
On a avec donc et soit avec
donc et alors soit .
On a alors , soit
On a et donc
On trace alors l'allure de la courbe et sur le graphique la droite d'équation et on construit les points demandés sur l'axe des abscisses.
- La suite semble tendre vers 0, l'abscisse d'un des points d'intersection entre la courbe de et la droite d'équation .
L'abscisse de ce point vérifie dont l'équation
qui est un produit nul, donc soit , soit
soit encore .
Comme la suite semble décroissante, la limite ne pourrait être que la première solution 0.
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