Suite définie par récurrence et suite intermédiaire géométrique

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Soit la suite $ (u_n)$ définie par      $ \left\{\begin{array}{ll} u_0=1 \\ u_{n+1}=\dfrac12 u_n -\dfrac32 \end{array}\right.$ .

  1. Calculer $ u_1$ et $ u_2$ .
  2. On considère la suite $ (v_n)$ définie par $ v_n=u_n+3$ .

    Montrer que la suite $ (v_n)$ est géométrique.

  3. En déduire une expression de $ v_n$ en fonction de $ n$ , puis de $ u_n$ en fonction de $ n$ .
  4. Etudier les variations de la suite $ (v_n)$ puis de la suite $ (u_n)$ .

Correction
  1. $ u_1=\dfrac12 u_0-\dfrac32=\dfrac12\times 1-\dfrac32=-1$ ;      $ u_2=\dfrac12 u_1-\dfrac32=\dfrac12\times (-1)-\dfrac32=-2$ ;
  2. $ v_{n+1}=u_{n+1}+3=\left(\dfrac12 u_n-\dfrac32\right)+3 =\dfrac12 u_n+\dfrac32 =\dfrac12\left(u_n+3\right) =\dfrac12 v_n $ .

    Ainsi, la suite $ (v_n)$ est géométrique de raison $ \dfrac12$ .

  3. On en déduit que pour tout entier naturel $ n$ , $ v_n=v_0\times \left(\dfrac12\right)^n$ , avec $ v_0=u_0+3=4$ , d'où, $ v_n =4\times \left(\dfrac12\right)^n =4\times \dfrac{1}{2^n} =\dfrac{1}{2^{n-2}} $ .

    On a alors, $ v_n=u_n+3\iff u_n=v_n-3=\dfrac{1}{2^{n-2}}-3$ .

  4. Comme $ v_{n+1}=\dfrac12 v_n<v_n$ , la suite $ (v_n)$ est décroissante.

    On a donc aussi, $ v_{n+1}-3<v_n-3 \iff u_{n+1}<u_n$ , et donc la suite $ (u_n)$ est aussi décroissante.



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