Sens de variation d'une suite définie par une fonction
Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale
Soit la suite
définie pour tout entier naturel
par
.
Déterminer le sens de variation de la suite
.
![$(v_n)$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.5/1.png)
![$n$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.5/2.png)
![$v_n=\dfrac{n+1}{2n+1}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.5/3.png)
Déterminer le sens de variation de la suite
![$(v_n)$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.5/4.png)
Correction
On a
avec la fonction
.
On a
avec
donc
et
donc
.
Ainsi,
,
soit
.
Ainsi
est strictement décroissante sur
,
et
est strictement décroissante sur
.
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On a
![$v_n=f(n)$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.5_c/1.png)
![$f:x\mapsto \dfrac{x+1}{2x+1}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.5_c/2.png)
On a
![$f=\dfrac{u}{v}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.5_c/3.png)
![$u(x)=x+1$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.5_c/4.png)
![$u'(x)=1$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.5_c/5.png)
![$v(x)=2x+1$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.5_c/6.png)
![$v'(x)=2$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.5_c/7.png)
Ainsi,
![$f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.5_c/8.png)
![$f'(x)=\dfrac{1(2x+1)-(x+1)2}{(2x+1)^2}
=\dfrac{-1}{(2x+1)^2}<0$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.5_c/9.png)
Ainsi
![$f$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.5_c/10.png)
![$\R_+$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.5_c/11.png)
![$(v_n)$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.5_c/12.png)
![$\N$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.5_c/13.png)
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