Racines, factorisation et signe d'un polynôme du 3ème degré

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

On considère le polynôme $ P(x)=-0.4x^3+12x^2-30x-500$ .

  1. Montrer que $ 10$ est une racine de $ P$ .
  2. En déduire une factorisation du polynôme $ P(x)$ .
  3. Déterminer alors toutes les solutions de l'équation $ P(x)=0$ .
  4. Déterminer les valeurs de $ x$ pour lesquelles $ P(x)$ est positif ou nul.

Correction
  1. $ P(10)=-0,4\times 10^3+12\times 10^2-30\times 10-500=0$ .

    On én déduit que $ 10$ est bien une racine du polynôme $ P$ .

  2. D'après la question précédente, on sait que le polynôme $ P$ se factorise suivant: $ P(x)=(x-10)Q(x)$ , où $ Q(x)$ est un polynôme de degré 2: $ Q(x)=ax^2+bx+c$ .

    On a donc, $ P(x)=(x-10)(ax^2+bx+c) =ax^3+(-10a+b)x^2+(-10b+c)x-10c $ , d'où on déduit que $ \left\{\begin{array}{rl} a&=-0,4\\ -10a+b&=12\\ -10b+c&=-30 \\ -10c&=-500\end{array}\right.$ , soit donc, $ a=-0,4$ , $ b=8$ et $ c=50$ .

    On trouve donc la factorisation: $ P(x)=(x-10)(-0,4x^2+8x+50)$ .

  3. $ P(x)=0\iff (x-10)(-0,4x^2+8x+50)=0$ , et donc, soit $ x-10=0\iff x=10$ , soit $ -0,4x^2+8x+50=0$ : $ \Delta=64-4\times (-0,4)\times 50=144=12^2>0$ . Le trinôme admet donc deux solutions: $ x_1=\dfrac{-8-12}{2\times (-0,4)}=25$ et $ x_2=\dfrac{-8+12}{2\times (-0,4)}=-10$ .

    Ainsi l'ensemble des solutions est $ \mathcal{S}=\left\{-10\,;\,10\,;\,25\right\}$ .

  4. On cherche les valeurs de $ x$ pour lesquelles $ P(x)\geqslant0$ , soit aussi, $ (x-10)(-0,4x^2+8x+50)\geqslant0$ :

    $\displaystyle \begin{tabular}{\vert c\vert lcccccccr\vert}\hline $x$\ & $-\inf... ...ce{-0.67em}\mid$}&+&\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}&-& \\ \hline \end{tabular} $

    On a alors,

    $ P(x)\geqslant0 \Longleftrightarrow x\in]-\infty;-10]\cup[10;25]$ .



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