Malformation cardiaque et anévrisme

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

En utilisant sa base de données, la sécurité sociale estime que la proportion de Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme est de 10%. L'étude a également permis de prouver que 30% des Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme, seront victimes d'un accident cardiaque au cours de leur vie alors que cette proportion n'atteint plus que 8% pour ceux qui ne souffrent pas de cette malformation congénitale.

On choisit au hasard une personne dans la population française et on considère les évènements : $M$ : « La personne présente, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme »
$C$ : « La personne est victime d'un accident cardiaque au cours de sa vie ».

    1. Quelle est la probabilité que la personne présente une malformation cardiaque de type anévrisme et soit victime d'un accident cardiaque au cours de sa vie.
    2. Calculer $P(C)$.
  1. On choisit au hasard une victime d'un accident cardiaque. Quelle est la probabilité qu'elle présente une malformation cardiaque de type anévrisme ?

Correction
On peut construire l'arbre pondéré suivant:
\[\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-2.)(5,2)
  \psline(0,0)(1.5,1.5)\rput(1.75,1.5){$M$}\rput(0.7,1.2){$0,10$}
  \psline(2,1.5)(3.5,2.25)\rput(3.75,2.25){$C$}\rput(2.7,2.2){$0,30$}
  \psline(2,1.5)(3.5,0.75)\rput(3.75,0.75){$\overline{C}$}\rput(2.7,0.7){$0,70$}
  %
  \psline(0,0)(1.5,-1.5)\rput(1.75,-1.5){$\overline{M}$}\rput(0.7,-1.2){$0,90$}
  \psline(2,-1.5)(3.5,-0.75)\rput(3.75,-0.75){$C$}\rput(2.7,-0.7){$0,08$}
  \psline(2,-1.5)(3.5,-2.25)\rput(3.75,-2.25){$\overline{C}$}\rput(2.7,-2.2){$0,92$}
\end{pspicture}\]

    1. $P\left( M \cap C\rp=P\left( M\rp\times P_M(C)=0,1\times0,3=0,03$
    2. En utilisant l'arbre (ou d'après la formule des probabilités totales):
      \[\begin{array}{ll}
    P(C)&=P\left( M \cap C\right) + P\left(\overline M \cap C\right)\\[0.3cm]
    &= P(M)\times P_M(C) + P\lp\overline M\rp\times P_{\overline M}(C) \\[0.3cm]
    &= 0,1\times 0,3 + 0,9 \times 0,08 = 0,03 + 0,072 = 0,102\enar\]

  1. On choisit au hasard une victime d'un accident cardiaque. La probabilité qu'elle présente une malformation cardiaque de type anévrisme est $P_C\left( M\rp$:
    $P_C\left( M\rp=\dfrac{P\left( M \cap C\rp}{P(C)}=\dfrac{0,03}{0,102}\approx0,2941$


Cacher la correction


Tag:Probabilités conditionnelles

Autres sujets au hasard: Lancer de dés



Voir aussi:
LongPage: h2: 1 - h3: 0