Loi d'une variable aléatoire

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

On donne la loi de probabilité de d'une variable aléatoire $X$:
\[\renewcommand{\arraystretch}{2.8} \begin{tabular}{|*6{c|}}\hline $x_i$ & $-2$ & $1$ & $2$ & $3$ & $5$ \\\hline $P\left( X=x_i\rp$ & $\dfrac14$ & $\dfrac13$ & $\dfrac14$ & $\dfrac1{12}$ & $\dfrac1{12}$\\ \hline\end{tabular}\]


  1. Déterminer la probabilité $P\left( X\geqslant0\rp$.
  2. Calculer l'espérance de $X$.
  3. Calculer l'écart type de $X$.



Correction

Correction

  1. On a $P\left( X\geqslant \rp=1-P\left( X<0\rp=1-\dfrac14=\dfrac34$
  2. L'espérance est
    \[E(X)= \dfrac14\tm(-2)+\dfrac13\tm1+\dfrac14\tm2+\dfrac1{12}\tm3+\dfrac1{12}\tm5 =\dfrac{12}{12}=1 \]

  3. La variance est
    \[\begin{array}{ll}V(X)&= \dfrac14\tm(-2-1)^2+\dfrac13\tm(1-1)^2+\dfrac14\tm(2-1)^2+\dfrac1{12}\tm(3-1)^2+\dfrac1{12}\tm(5-1)^2\\[.8em] &=\dfrac{9}{4}+0+\dfrac{1}{4}+\dfrac{4}{12}+\dfrac{16}{12}\\[.8em] &=\dfrac{50}{12}=\dfrac{25}{6} \enar\]

    L'écart type est alors $\sigma=\sqrt{V(X)}=\sqrt{\dfrac{25}6}=\dfrac5{\sqrt6}\simeq2$


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