Fonction avec 2 paramètres à déterminer

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Soit $ \mathcal{C}$ la représentation graphique de la fonction $ f$ définie sur $ {\rm I\kern-.1567em R}\setminus\left\{2\right\}$ par:

$\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2+ax+b}{x-2} \qquad a,b\ \in{\rm I\kern-.1567em R}\ . $

  1. Calculer $ f'(x)$ .
  2. Déterminer $ a$ et $ b$ tels que la droite d'équation $ y=8$ soit tangente à $ \mathcal{C}$ au point d'abscisse 3.

Correction
  1. Pour tout $ x\in{\rm I\kern-.1567em R}\setminus\left\{2\right\}$ ,

    $\displaystyle f'(x) =\dfrac{(2x+a)(x-2)-(x^2+ax+b)}{(x-2)^2} =\dfrac{x^2-4x-2a-b}{(x-2)^2} $

  2. La tangente à $ \mathcal{C}$ au point d'abscisse 3 a pour équation:

    $ y=f'(3)(x-3)+f(3)=f'(3)x-3f'(3)+f(3)$ .

    On doit donc avoir, pour cette tangente ait pour équation $ y=8$ , $ \left\{\begin{array}{ll} f'(3)=0 \\ -3f'(3)+f(3)=8 \end{array}\right.$

    soit, $ \left\{\begin{array}{ll} f'(3)=0 \\ f(3)=8 \end{array}\right. \iff \left... ... \iff \left\{\begin{array}{ll} 2a+b=-3 \\ 3a+b=-1 \end{array}\right. \iff$ \fbox{ $\left\{\begin{array}{ll} a=2 \\ b=-7 \end{array}\right.$}



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Tag:Fonctions et dérivées

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