Deux suites imbriquées
Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale
On considère les suites
et
définies
par leur premier terme
et
et, pour tout entier
,
![$\left( u_n\rp$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/Suites-Imbriquees/1.png)
![$\left( v_n\rp$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/Suites-Imbriquees/2.png)
![$u_0=1$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/Suites-Imbriquees/3.png)
![$v_0=2$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/Suites-Imbriquees/4.png)
![$n$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/Suites-Imbriquees/5.png)
![\[\la\begin{array}{ll}
u_{n+1}=\dfrac13u_n+\dfrac23v_n\\[.8em]
v_{n+1}=\dfrac15u_n+\dfrac45v_n\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/Suites-Imbriquees/6.png)
- Calculer
et
.
- On pose, pout tout entier
,
.
- Calculer
et
.
- Montrer que la suite
est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
Donner alors l'expression explicite deen fonction de
.
- Calculer
- On pose, pour tout entier
,
.
- Calculer
et
.
- Montrer que la suite
est constante.
- Calculer
- Exprimer alors, explicitement en fonction de
, les termes
et
.
- Quelles sont les limites de ces deux suites ?
Correction
Cacher la correction
-
- On pose, pout tout entier
,
.
-
et
- Pour tout entier
on a,
ce qui montre que cette suite est géométrique de raisonet de premier terme
.
On a alors directement,pour tout entier
.
-
-
-
et
.
- Pour tout entier
, on a
ce qui montre que la suite est constante, égale à.
-
- D'après ce ui précède, on a montré que
On peut résoudre ce système dont les inconnues sontet
.
Par substitution par exemple, la première relation donne, puis, dans la deuxième relation,
puis, en reprenant la première relation,
- Comme
, on a
, et alors
Cacher la correction
Tag:Suites
Voir aussi: