Condition suffisante pour l'existence de 2 racines d'un trinôme

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Soit $ f$ la fonction définie sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ par $ f(x)=ax^2+bx+c$ , avec $ a\not=0$ .

Montrer que si $ a$ et $ c$ sont de signes contraires, alors la courbe représentative de la fonction $ f$ coupe exactement deux fois l'axe des abscisses.


Correction
La courbe représentative $ \mathcal{C}_f$ de la fonction $ f$ coupe l'axe des abscisses aux points (s'ils existent) d'abscisse $ x$ tels que $ f(x)=0$ .

$ f$ est une fonction trinôme du second degré, de discriminant $ \Delta=b^2-4ac$ . Si $ a$ et $ c$ sont de signes contraires, alors, $ ac<0$ , et donc $ -4ac>0$ , d'où, $ \Delta=b^2-4ac>b^2>0$ et le trinôme $ f$ admet deux racines réelles distinctes $ x_1$ et $ x_2$ . En d'autres termes $ f(x_1)=f(x_2)=0$ , et ainsi $ \mathcal{C}_f$ coupe l'axe des abscisses en deux points distincts.

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Tag:2nd degré

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