Méthodes de résolution de systèmes de deux équations à deux inconnues



Système de deux équations à deux inconnues


Soit a, b, c, a', b' et c' six réels.
On appelle système linéaires de deux équations à deux inconnues le système:
ax + by = c a'x + b'y = c'
Résoudre le sytème consiste à trouver tous les couples (x ; y) qui vérifient simultanément les deux équations.

Ce couple (x ; y) est aussi, s'il existe, les coordonnées du point d'intersection des deux droites d'équations cartésiennes ax + by = c et a'x + b'y = c'.


Exemples:
  1. Système 1: Déterminer x et y tels que 3x − y = 1 x + y = 3

  2. Système 2: Déterminer x et y tels que 2x + y = −1 2x + 2y = 2


Résolution par substitution

La méthode par substitution entend substituer une inconnue à l'autre en utilisant une des deux équations.
En d'autres termes, on va par exemple exprimer y en fonction de x dans une équation, puis substituer cette expression à la variable y dans l'autre équation.
Par exemple, pour les deux systèmes précédents:
  1. Système 1: 3x − y = 1 x + y = 3
    La deuxième équation nous donne
    x + y = 3 ⇔ y = 3 − x
    puis en substituant cette expression dans la 1ère équation:
    3x − y = 1 ⇔   3x − ( 3 − x ) = 1 ⇔   4x − 3 = 1 ⇔   4x = 1 + 3 = 4 ⇔   x = 1
    Enfin, on substitue aussi cette valeur dans une des deux équations (ou les deux pour vérifier qu'on obtient bien le même résultat), la 2ème par exemple,
    x + y = 3 ⇔ 1 + y = 3 ⇔ y = 2
    Ainsi, la solution du système est
    x = 1 y = 2

  2. Système 2: 2x + y = −1 2x + 2y = 2
    La première équation permet d'exprimer simplement y:
    2x + y = −1 ⇔ y = −1 −2x
    puis, en substituant dans la deuxième équation
    2x + 2y = 2 ⇔   2x + 2( −1 − 2x ) = 2 ⇔   −2x − 2 = 2 ⇔   −2x = 2 + 2 = 4 ⇔   x = −2
    Enfin, on substitue aussi cette valeur dans une des deux équations (ou les deux pour vérifier qu'on obtient bien le même résultat):
    2x + y = −1 ⇔ 2×(−2) + y = −1 ⇔ y = 3
    Ainsi, la solution du système est
    x = −2 y = 3



Exercice:
Résoudre les systèmes suivants:
  1. x − 2y = 11 2x + y = 2

    Solution:
    x =
    y =


  2. 2x − y = 6 −x + 2y = 3

    Solution:
    x =
    y =


  3. x + 2y = −2 −x − 3y = 0

    Solution:
    x =
    y =




Résolution par combinaison


La méthode par combinaison vise à "supprimer" une inconnue en combinant les deux équations: en les ajoutant, les soustrayant, après éventuellement les avoir mulitpliées par un nombre.

  1. Dans le système 1, premier système en exemple,
    3x − y = 1 x + y = 3
    on voit par exemple qu'en ajoutant termes à termes les deux équations, l'inconnue y disparaît:
    3x − y = 1 x + y = 3    4x + 0 = 4
    soit donc facilement maintenant:
    4x = 4 ⇔ x = 1
    On pourrait procéder de même pour l'autre inconnue ou plus simplement maintenant substituer ce résultat dans une des deux équations:
    x + y = 3 ⇔ 1 + y = 3 ⇔ y = 2
    d'où la solution
    x = 1 y = 2


  2. Pour le deuxième système donné en exemple:
    2x + y = −1 2x + 2y = 2
    on voit cette fois qu'en soustrayant terme à terme les deux équations, la deuxième à la première par exemple, l'inconnue x disparaît:
    2x + y = −1 2x + 2y = 2    0  −  y = −3
    d'où on tire facilement y = 3, puis en substituant dans la première équation
    2x + y = −1 ⇔ 2x + 3 = −1 ⇔ x = −2

    d'où la solution
    x = −2 y = 3


  3. Un dernier exemple, dans lequel ni l'addition, ni la soustraction ne permet d'éliminer directement une inconnue, par exemple le système
    2x + 3y = 13 x − y = −1
    Pour éliminer, par exemple pour commencer, l'inconnue x, on peut pour se ramener aux cas plus simples précédents, tout d'abord multiplier la deuxième équation par 2:
    2x + 3y = 13 2x − 2y = −2
    On peut alors soustraire la deuxième équation à la première:
    2x + 3y = 13 2x − 2y = −2    0  + 5y = 15
    d'où on tire facilement y = 3.
    Enfin, pour utiliser la même méthode pour trouver x, on peut multiplier la deuxième équation par 3, puis ajouter les deux équations:
    2x + 3y = 13 3x − 3y = −3   5x +  0 = 10
    qui nous délivre alors facilement x = 2.
    La solution du système est finalement
    x = 2 y = 3


Exercice
Résoudre les systèmes de l'exercice précédent par combinaison.

Exercice
Résoudre ces trois systèmes par substitution et/ou combinaison.

Voir aussi:
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