Suite géométrique complexe

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

On considère la suite $(z_n)$ définie par $z_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $z_{n+1}=\dfrac{z_n-6}{1+i}$.
  1. Exprimer $z_1$ sous forme algébrique.
  2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n=z_n-6i$.
    Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ?
  3. En déduire une expression de $u_n$ puis de $z_n$ en fonction de $n$.



Correction

Correction

  1. $z_1=\dfrac{z_0-6}{1+i}=\dfrac{-5(1-i)}{(1+i)(1-i)} =\dfrac{-5+5i}2 =-\dfrac52+\dfrac52i$

  2. \[\begin{array}{ll}u_{n+1}&=z_{n+1}-6i\\[.4em] &=\dfrac{z_n-6}{1+i}-6i\\[1em] &=\dfrac{z_n-6-6i(1+i)}{1+i}\\[1em] &=\dfrac{z_n-6i}{1+i}\\[1em] &=\dfrac{u_n}{1+i}\\[1em] &=\dfrac1{1+i}u_n \enar\]

    ce qui montre que la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=\dfrac1{1+i}$
  3. On déduit des calculs précédents que, pour tout entier $n$, on a
    \[\begin{array}{ll}u_n=u_0q^n&=(z_0-6i)\lp\dfrac1{1+i}\rp^n\\ &=\dfrac{1-6i}{(1+i)^n}\enar\]

    et donc, en revenant à la suite $(z_n)$,
    \[\begin{array}{lrl}&u_n&=z_-6i\\ \iff&z_n&=u_n+6i\\[.4em] &&=\dfrac{1-6i}{(1+i)^n}+6i\enar\]



Tag:Nombres Complexes - Algébrique

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