Chiffre des unités (bis)

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

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Quel est le chiffre des unités de $1234^{100}$ ?


Correction

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Le chiffre des unités du nombre $x$ est $x[10]$.
Ici, $1234\equiv4[10]$ et donc $1234^{100}\equiv 4[10]$
On cherche alors à calculer les puissances:
\[4^2=16\equiv6[10]\]

puis
\[4^3=4\tm4^2\equiv 4\tm6[10]\equiv 4[10]\]

et on a donc une période de 3 pour la puissance.
On divise (division euclidienne) alors la puissance par 3, soit $100=3\tm33+1$ et donc
\[4^{100}=\lp4^3\rp^{33}\tm4\equiv 4^{33}\tm4[10]\]

et on on redivise la puissance par 3:
\[4^{33}=\lp4^3\rp^{11}\equiv4^{11}[10]\]

puis, comme $11=3\tm3+2$, on obtient
\[\begin{array}{ll}4^{11}&=\lp4^3\rp^{3}\tm4^2\\[.5em] &\equiv 4^3\tm6[10]\\[.5em] &\equiv4\tm6[10]\\[.5em] &\equiv4[10] \enar\]

Ainsi, le chiffre des unités de $1234^{100}$ est 4.


Tag:Division euclidienne - Congruences

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